Naar inhoud springen

Speciale unitaire groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de speciale unitaire groep van graad , genoteerd als , de groep van unitaire -matrices met determinant 1. De groepsbewerking is die van de matrixvermenigvuldiging. De speciale unitaire groep is een deelgroep van de unitaire groep van unitaire -matrices, die zelf weer een deelgroep is van de algemene lineaire groep .

De groepen vinden een brede toepassing in het standaardmodel in de natuurkunde, speciaal de in de elektro-zwakke interactie en in de kwantumchromodynamica.

Het simpelste geval, , is de triviale groep, die slechts één enkel element heeft. De groep is isomorf met de groep van de quaternionen met absolute waarde gelijk aan 1, en zijn dus diffeomorf met de 3-sfeer. Aangezien eenheidsquaternionen worden gebruikt om rotaties in de driedimensionale ruimte weer te geven, hebben we een surjectief homomorfisme van met de rotatiegroep , waarvan de kern gelijk is aan .

Eigenschappen

[bewerken | brontekst bewerken]

De speciale unitaire groep is een reële matrix lie-groep van dimensie . Topologisch is de speciale unitaire groep compact en enkelvoudig samenhangend. Algebraïsch is het een enkelvoudige lie-groep (dit betekent dat zijn lie-algebra enkelvoudig is; zie onder). Het centrum van is isomorf met de cyclische groep . De uitwendige automorfismegroep, voor , is , terwijl de uitwendige automorfismegroep voor de triviale groep is.

De wordt als algebra gegenereerd door operatoren die voor voldoen aan de commutatorrelatie

In aanvulling hierop moet de operator

voldoen aan

,

wat impliceert dat het aantal onafhankelijke generatoren van gelijk is aan .[1]

Een algemene -matrix heeft de vorm

,

waarin staat voor de complex geconjugeerde en en complexe getallen zijn met

In de definiërende representatie zijn de generatoren proportioneel aan de Pauli-matrices via:

waarin:

Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.

De structuurconstanten voor worden gedefinieerd door het Levi-Civita-symbool

De rest kan worden bepaald door antisymmetrie. Alle -waarden verdwijnen.

De generatoren van worden in de definiërende representatie gegeven door:

waarin de Gell-Mann-matrices voor het analogon zijn van de pauli-matrix voor :

Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.

Dit voldoet aan de relaties

waarin de structuurconstanten worden gegeven door

De -waarden zijn:

  1. R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics (Wiskundige methoden van de kwantumoptica), Springer, 2001.