Przekątna

Jedna z przekątnych sześcianu (A′C) oraz jednej z jego ścian (B′D′)

Przekątna, dawniej przekątnia – pojęcie geometryczne o dwóch znaczeniach:

• w geometrii płaskiej (planimetrii): odcinek łączący dwa wierzchołki wielokąta nieleżące na jednym boku tego wielokąta,
• w geometrii trójwymiarowej (stereometrii): odcinek łączący dwa wierzchołki wielościanu nieleżące na jednej ścianie tego wielościanu.

Kombinatoryka przekątnych

Liczba przekątnych w $n$-kącie (czyli wielokącie o $n$ wierzchołkach) wynosi

$p={\frac {n(n-3)}{2}}.$

Liczba sposobów, na które n-kąt wypukły może być podzielony nieprzecinającymi się oprócz końców przekątnymi na trójkąty to $C_{n-2}$ (za pomocą $n-3$ przekątnych), gdzie $C_{n}$ to $n$-ta liczba Catalana.

Liczba rozłącznych obszarów na które przekątne dzielą $n$-kąt wypukły (o ile żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie w jego wnętrzu):

$N={n \choose 4}+{n-1 \choose 2}={\frac {1}{24}}(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12).$

Początkowe wartości tego ciągu dla $n=3,4,\dots$ wynoszą: 1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 (ciąg A006522 w OEIS).

Długości przekątnych

Przekątne kwadratu (AC i BD) przecinają się pod kątem prostym.

Przekątna prostokąta o bokach długości $a$ i $b$ ma długość

$d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Przekątna kwadratu o boku długości $a$ ma długość

$d=a~{\sqrt {2}}.$

Długość dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości $a$ wynosi

$d=2a.$

Długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości $a$ wynosi

$d=a~{\sqrt {3}}.$

Przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości $a,$ $b$ i $c$ ma długość

$d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.$

Przekątna sześcianu o krawędzi długości $a$ ma długość

$d=a~{\sqrt {3}}.$

Zobacz też

• przekątna główna macierzy
• twierdzenie o wolnej przekątnej

Linki zewnętrzne

• JerzyJ. Bednarczuk JerzyJ., Mało przekątnych – duży problem, „Delta”, grudzień 2023, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-12-09] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polygon Diagonal, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polyhedron Diagonal, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-11-02].