Diagonais de um polígono

As duas diagonais de um retângulo.

Uma diagonal de um polígono é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do polígono.

Cálculo do número de diagonais de um polígono

A fórmula para se calcular a quantidade de diagonais "D" que tem em um polígono de "n" lados é a seguinte:

$$D={n(n-3) \over 2}$$

É necessário realçar que o triângulo não possui diagonais, e o pentágono é o único polígono, cujo número de diagonais é o mesmo que o número de lados.

Lados Diagonais 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 8 20 9 27 10 35

Lados Diagonais 11 44 12 54 13 65 14 77 15 90 16 104 17 119 18 135

Lados Diagonais 19 152 20 170 21 189 22 209 23 230 24 252 25 275 26 299

Lados Diagonais 27 324 28 350 29 377 30 405 31 434 32 464 33 495 34 527

Lados Diagonais 35 560 36 594 37 629 38 665 39 702 40 740 41 779 42 819

Desenvolvendo a fórmula do cálculo do número de diagonais de um polígono

Tendo o retângulo acima como base para o estudo da fórmula, isolamos (limitamos nossa atenção) a um dos vértices, tomemos, por exemplo, o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono.

Criamos uma fórmula que descreva a afirmação anterior:

Seja P o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os 3 (três) vértices com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A.

$$P={n-3}$$

Onde 'n' é o número de vértices do polígono.

Aplicando essa fórmula ao retângulo acima, temos: $P=4-3$ portanto, para o vértice A uma só diagonal.

Se temos uma fórmula que calcula o número de diagonais para um vértice do polígono, bastaria então multiplicar essa fórmula pelo número de vértices desse polígono para aplicá-la aos outros vértices, porém, o que se observa é que o resultado será sempre o dobro do número de diagonais do polígono, veja:

$$d=n(n-3)$$

$$d=4(4-3)=4$$

Isso se deve ao fato que uma diagonal é sempre "compartilhada" por dois vértices, daí a necessidade de se dividir por 2. Então:

$$d={n(n-3) \over 2}$$

ou ainda:

$$d={n^{2}-3n \over 2}$$

Fica fácil agora entender matematicamente o porquê do triângulo não ter diagonais, uma vez que serão desconsiderados sempre 3 vértices: o próprio e os dois adjacentes.

Combinatoriamente, também é possível calcular o número de diagonais mediante o seguinte raciocínio:

Para cada par de pontos, existe um segmento de reta que os contém. Assim, a combinação de n vértices dois a dois fornece o número de segmentos possíveis entre dois vértices do polígono - há de se retirar, obviamente, o número de lados do polígono, pois estes também são segmentos possíveis entre dois vértices. Assim, temos:

$$d=C_{n,2}\ -n={n! \over 2!(n-2)!}-n={n^{2}-3n \over 2}$$