ビンゴの確率（出題篇）

Math

よくパーティーなんかでビンゴをやるけど、あれって何回ぐらいで当たるものなんだろう？ とふと疑問に思った。
ボール（玉）の数とホール（穴）の数が分かってるんだから計算で出せるはず。
と思って昨日から考えているんだけど、意外と難しいぞこれ。

  • N個のボールが入った袋からn個のボールを取り出したとき、カードにm個の穴が空く確率をp(n,m)とする。カードの穴の数はM(=l^2-1; lは1辺の長さ)。
  • m個の穴が空いたカードにビンゴが１つ以上ある確率をq(m)とする。
  • n個のボールを取り出したとき、ビンゴが１つ以上ある確率をr(n)とする。

とすると、

p(n,m)=p(n-1,m)\left\{1-\phi(n-1,m)\right\}+p(n-1,m-1)\phi(n-1,m-1) (n \ge mのとき; n < mのときはp(n,m)=0)
\phi(n,m)=\frac{M-m}{N-n}

r(n)=\sum_{m=1}^n p(n,m)q(m)

q(m)はまだ定式化できていない。
（M=3のときのq(m)(m=0\sim 3)は、場合の数を数えることによって一応出してみたけど）

とりあえずここまで。