동형 정리

추상대수학에서 동형 정리(同型定理, 영어: isomorphism theorem)는 준동형과 부분 대수, 합동 관계 사이의 관계를 나타내는 3개의 정리다.^[1]^:§II.6 이는 보편 대수학의 정리로, 임의의 대수 구조에 대하여 정의할 수 있다.

정의

대수 구조 $(S,F)$ 는 집합 $S$ 와, $S^{\times n}\to S$ 꼴의 함수들의 집합 $F$ 의 순서쌍이다. 같은 연산들을 갖는 두 대수의 준동형은 연산들을 보존시키는 함수이다.

제1 동형 정리

대수 준동형 $\phi \colon A\to B$ 에 대하여, 다음 명제들이 성립한다.

$\phi (A)\subset B$ 는 $B$ 의 부분대수이다.
$a\sim b\iff \phi (a)=\phi (b)$ 는 $A$ 위의 합동 관계이다.
$\phi /\sim \colon A/\sim \to \phi (A)$ 는 대수의 동형 사상이다.

제2 동형 정리

대수 $(A,F)$ 및 부분대수 $(B,F|_{B})\subset (A,F)$ 및 $A$ 위의 합동 관계 $\sim$ 가 주어졌다고 하면, 다음 명제들이 성립한다.

$\sim |_{B}$ 는 $B$ 위의 합동 관계이다.
$B^{\sim }=\{a\in A|[a]\cap B\neq \varnothing \}$ 가 $B$ 와 겹치는 $\sim$ -동치류들의 원소들의 집합이라고 하자. 그렇다면 $B^{\sim }$ 은 $A$ 의 부분대수이다.
$B^{\sim }/\sim |_{B^{\sim }}$ 은 $B/\sim |_{B}$ 와 동형이다.

제3 동형 정리

대수 $A$ 위에 두 합동 관계 $\sim _{1},\sim _{2}$ 가 주어졌으며, $a\sim _{1}b$ 라면 $a\sim _{2}b$ 이라고 하자. 즉, $\sim _{1}$ 이 $\sim _{2}$ 보다 더 고른 동치 관계라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

$A/\sim _{1}$ 위의 이항 관계 $\sim _{2}/\sim _{1}$ 를 $[a]\sim _{2}/\sim _{1}[b]\iff a\sim _{2}b$ 로 정의하자. 그렇다면 $\sim _{2}/\sim _{1}$ 는 $A/\sim _{1}$ 위의 합동 관계이다.
$(A/\sim _{1})/(\sim _{2}/\sim _{1})$ 는 $A/\sim _{2}$ 과 동형이다.

예

위 3개의 동형 정리는 보편 대수학에 따라, 임의의 대수 구조에 적용할 수 있다. 대표적인 예는 다음과 같다.

보편 대수	군	환	가군
대수 구조 $A$	군 $G$	환 $R$	$R$ -왼쪽 가군 $M$
합동 관계 $\sim$	정규 부분군 $N\vartriangleleft G$	아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subset R$	부분가군 $N\subset M$
부분 대수 $B\subset A$	부분군 $H\leq G$	부분환 $S\subset R$	부분가군 $P\subset M$
$B^{\sim }\subset A$	$HN\leq G$	$S+{\mathfrak {a}}\subset R$	$N+P\subset M$
$\sim \|_{B}$	$H\cap N\vartriangleleft H$	$S\cap {\mathfrak {a}}\subset S$	$N\cap P\subset N$
$\sim \|_{B^{\sim }}$	$N$	${\mathfrak {a}}$	$P$
$\sim _{1}$ 이 $\sim _{2}$ 보다 더 고름	$N_{1}\subset N_{2}$	${\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}$	$N_{1}\subset N_{2}$
$\sim _{2}/\sim _{1}$	$N_{2}/N_{1}\vartriangleleft G/N_{1}$	${\mathfrak {a}}_{2}/{\mathfrak {a}}_{1}\subset R/{\mathfrak {a}}_{1}$	$N_{2}/N_{1}\subset M/N_{1}$

군 동형 정리

제1 동형 정리

군 준동형 $\phi \colon G\to L$ 에 대하여,

$\phi (G)\leq L$
$\ker \phi \vartriangleleft G$
$G/\ker \phi \cong \phi (G)$

제2 동형 정리

군 $G$ 및 부분군 $H\leq G$ 및 정규 부분군 $N\vartriangleleft G$ 에 대하여,

$H\cap N\vartriangleleft H$
$HN\leq G$
$(HN)/N\cong H/(H\cap N)$

제3 동형 정리

군 $G$ 및 정규 부분군 $N_{1}\leq N_{2}\vartriangleleft G$ 에 대하여,

$N_{2}/N_{1}\vartriangleleft G/N_{1}$
$(G/N_{1})/(N_{2}/N_{1})\cong G/N_{2}$

환 동형 정리

제1 동형 정리

환 준동형 $\phi \colon R\to S$ 에 대하여,

$\phi (R)$ 는 $S$ 의 부분환이다.
$\ker \phi$ 는 $R$ 의 아이디얼이다.
$R/\ker \phi \cong \phi (R)$

제2 동형 정리

환 $R$ 및 부분환 $S\subset R$ 및 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subset R$ 에 대하여,

$S\cap {\mathfrak {a}}$ 는 $S$ 의 아이디얼이다.
$S+{\mathfrak {a}}$ 는 $R$ 의 부분환이다.
$(S+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}\cong S/(S\cap {\mathfrak {a}})$

제3 동형 정리

환 $R$ 및 아이디얼 ${\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset R$ 에 대하여,

${\mathfrak {a}}_{2}/{\mathfrak {a}}_{1}$ 은 $R/{\mathfrak {a}}_{1}$ 의 아이디얼이다.
$(R/{\mathfrak {a}}_{1})/({\mathfrak {a}}_{2}/{\mathfrak {a}}_{1})\cong R/{\mathfrak {a}}_{2}$