Věty o izomorfismu

Věty o izomorfismu (Noetherové věty o izomorfismu) jsou v abstraktní algebře, oboru matematiky, matematické věty, které popisují vztah mezi faktorovými algebrami, homomorfismy a podobjekty. Věty existují ve verzích pro grupy, okruhy, vektorové prostory, moduly, Lieovy algebry a jiné algebraické struktury. V univerzální algebře lze věty o izomorfismu zobecnit na kontext algeber a kongruencí.

Historie

Věty o izomorfismu formulovala v určité obecnosti pro homomorfismy modulů Emmy Noetherová ve svém článku Abstrakter Aufbau der Idealtheorie v algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, který byl publikován v roce 1927 v Mathematische Annalen. Méně obecné verze těchto vět lze nalézt v práci Richarda Dedekinda a ve starších odborných článcích E. Noetherové.

O tři roky později publikoval B.L. van der Waerden svoji vlivnou Moderne Algebra, první učebnici abstraktní algebry, která k tématu přistupovala pomocí grup, okruhů a těles. Van der Waerden uvedl jako hlavní pramen přednášky Noetherové o teorii grup a přednášky Emila Artina o algebře, jakož i seminář o ideálech, který vedli Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier a sám van der Waerden. Explicitně se jedná o tři věty o izomorfismu nazývané věta o homomorfismu a dva zákony izomorfismu při aplikaci na grupy.

Grupy

Následuje prezentace vět o izomorfismu grup.

Věta A (grupy)

Nechť G a H jsou grupy, a nechť f : G → H je grupový homomorfismus. Pak:

Jádro homomorfismu f je normální podgrupa grupy G,
Obraz homomorfismu f je podgrupa grupy H, a
Obraz homomorfismu f je izomorfní s faktorovou grupou G / ker(f).

Speciálně pokud f je surjektivní pak H je izomorfní s G / ker(f).

Tato věta se obvykle nazývá první věta o izomorfismu.

Věta B (grupy)

Diagram pro větu B4. Dvě faktorové grupy (tečkované) jsou izomorfní.

Nechť $G$ je grupa. Nechť $S$ je podgrupa grupy $G$ , a nechť $N$ je normální podgrupa grupy $G$ . Pak platí:

Součin $SN$ je podgrupa grupy $G$ ,
Podgrupa $N$ je normální podgrupa grupy $SN$ ,
Průnik $S\cap N$ je normální podgrupa podgrupy $S$ , a
Faktorové grupy $(SN)/N$ a $S/(S\cap N)$ jsou izomorfní.

Technicky není nezbytné, aby $N$ byla normální podgrupa, pokud $S$ je podgrupa normalizátoru podgrupy $N$ v $G$ . V tomto případě $N$ není normální podgrupou grupy $G$ , ale $N$ je stále normální podgrupou součinu $SN$ .

Tato věta se někdy nazývá druhá věta o izomorfismu,^[1], anglicky diamond theorem^[2] nebo parallelogram theorem.^[3]

Aplikace druhé věty o izomorfismu identifikuje projektivní lineární grupy: například grupa na Riemannově sféře vychází z $G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )$ , grupa invertovatelných matic 2 × 2 komplexních čísel vychází z $S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )$ , podgrupa matic s determinantem 1, a $N$ normální podgrupa skalární matice $\mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}$ , máme $S\cap N=\{\pm I\}$ , kde $I$ je jednotková matice, a $SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )$ . Pak druhá věta o izomorfismu říká, že:

\operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )

Věta C (grupy)

Nechť $G$ je grupa, a $N$ normální podgrupa grupy $G$ . Pak

Pokud $K$ je podgrupa grupy $G$ taková, že $N\subseteq K\subseteq G$ , pak $G/N$ má podgrupu izomorfní s $K/N$ .
Každá podgrupa grupy $G/N$ má tvar $K/N$ pro nějakou podgrupu $K$ grupy $G$ taková, že $N\subseteq K\subseteq G$ .
Pokud $K$ je normální podgrupa grupy $G$ taková, že $N\subseteq K\subseteq G$ , pak $G/N$ má normální podgrupu izomorfní s $K/N$ .
Každá normální podgrupa grupy $G/N$ má tvar $K/N$ pro nějakou normální podgrupu $K$ grupy $G$ takovou, že $N\subseteq K\subseteq G$ .
Pokud $K$ je normální podgrupa grupy $G$ taková, že $N\subseteq K\subseteq G$ , pak faktorová grupa $(G/N)/(K/N)$ je izomorfní s $G/K$ .

Za třetí větu o izomorfismu je někdy označováno jen poslední tvrzení. První čtyři tvrzení se často zahrnují pod níže uvedenou větu D, a říká se jim svazová věta, věta o korespondenci nebo čtvrtá věta o izomorfismu.

Věta D (grupy)

Nechť $G$ je grupa, a $N$ normální podgrupa grupy $G$ . Kanonické projekce homomorfismu $G\rightarrow G/N$ definuje bijektivní korespondence mezi množinou podgrup grupy $G$ obsahujících $N$ a množinou (všech) podgrup grupy $G/N$ . Při této korespondenci normální podgrupy odpovídají normálním podgrupám.

Tato věta se někdy nazývá věta o korespondenci, svazová věta nebo čtvrtá věta o izomorfismu.

Čtvrtou větou o izomorfismu se někdy nazývá Zassenhausovo lemma (motýlové lemma).^[4]

Diskuze

První větu o izomorfismu lze vyjádřit v jazyce teorie kategorií tak, že kategorie grup je (normální epi, mono)-faktorizovatelná; jinými slovy normální epimorfismy a monomorfismy tvoří faktorizační systém kategorie. To je zachyceno v komutativním diagramu na okraji, který ukazuje objekty a morfismy, jejichž existenci lze odvodit z morfismu $f:G\rightarrow H$ . Diagram ukazuje, že každý morfismus v kategorii grup má jádro ve smyslu teorie kategorií; libovolný morfismus f se dělí na morfismy $\iota \circ \pi$ , kde ι je monomorfismus a π je epimorfismus (v konormální kategorii jsou všechny epimorfismy normální). To je znázorněno v diagramu objektem $\ker f$ a monomorfismem $\kappa :\ker f\rightarrow G$ (jádra jsou vždy monomorfismy), který doplňují krátkou exaktní posloupnost běžící z dolního levého rohu do horního pravého rohu diagramu. Použití konvence exaktní posloupnosti nás ušetří od nutnosti kreslit nulové morfismy z $\ker f$ do $H$ a $G/\ker f$ .

Pokud je posloupnost rozdělena zprava (tj. existuje morfismus σ, který zobrazuje $G/\operatorname {ker} f$ na $\pi$ -vzor sebe sama), pak G je semidirektním součinem normální podgrupy $\operatorname {im} \kappa$ a podgrupy $\operatorname {im} \sigma$ . Pokud je rozdělen vlevo (tj. existuje nějaký $\rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f$ takové, že $\rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}$ ), pak musí také být správně rozděleno, a $\operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma$ je přímý součin rozklad grupy G. Obecně platí, že existence pravého rozdělení neznamená existenci levého rozdělení; ale v abelovské kategorii (např. v kategorii abelovských grup) jsou levé a pravé rozdělení ekvivalentní podle lemmatu o rozdělení, a pravé rozdělení je postačující pro získání rokladu přímého součtu grupy $\operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma$ . V abelovské kategorii jsou také všechny monomorfismy normální, a graf lze rozšířit o druhou krátkou exaktní posloupnost $0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0$ .

Ve druhé větě o izomorfismu je součin SN je spojením S a N ve svazové podgrupě grupy G, zatímco průnik S ∩ N je průsekem.

Lemma devíti zobecňuje třetí větu o izomorfismu na abelovské kategorie a obecnější zobrazení mezi objekty.

Poznámka k číslování a jménům vět

Následující tabulka obsahuje čtyři věty označené A, B, C a D, které jsou obvykle číslované jako „První věta o izomorfismu“, „Druhá...“ atd.; ale různí autoři je číslují různě. V tabulce jsou uvedeny příklady vět o izomorfismu grup v literatuře. Všimněte si, že k těmto větám existují obdoby pro okruhy a moduly.

Porovnání jmen vět o izomorfismu grup
Komentář	Autor	Věta A	Věta B	Věta C
Žádná „třetí“ věta	Jacobson^[5]	Základní věta o homomorfismu	(Druhá věta o izomorfismu)	“často označovaná jako první věta o izomorfismu“
	van der Waerden,^[6] Durbin^[8]	Základní věta of homomorfismy	První věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu
	Knapp^[9]	(Žádné jméno)	Druhá věta o izomorfismu	První věta o izomorfismu
	Grillet^[10]	věta o Homomorfismu	Druhá věta o izomorfismu	První věta o izomorfismu
Tři číslované věty	(Jiné konvence než u Grilleta)	První věta o izomorfismu	Třetí věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu
	Rotman^[11]	První věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu	Třetí věta o izomorfismu
	Fraleigh^[12]	Základní věta o homomorfismu nebo první věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu	Třetí věta o izomorfismu
	Dummit & Foote^[13]	První věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu (diamond theorem)	Třetí věta o izomorfismu
Nečíslované	Milne^[1]	Věta o homomorfismu	Věta o izomorfismu	Věta o korespondenci
Nečíslované	Scott^[14]	Věta o homomorfismu	Věta o izomorfismu	Freshmanova věta

Je méně běžný zahrnout Větu D, obvykle známou jako svazová věta nebo věta o korespondenci, jako jednu z vět o izomorfismu, pokud je však obsažena, je poslední.

Okruhy

Tvrzení vět pro okruhy jsou podobná, ale pojem normální podgrupy je nahrazen pojmem ideálu.

Věta A (okruhy)

Nechť $R$ a $S$ jsou okruhy, a nechť $\varphi :R\rightarrow S$ je okruhový homomorfismus. Pak:

Jádro homomorfismu $\varphi$ je ideál okruhu $R$ ,
Obraz homomorfismu $\varphi$ je podokruh okruhu $S$ , a
Obraz homomorfismu $\varphi$ je izomorfní s faktorokruhem $R/\ker \varphi$ .

Speciálně pokud $\varphi$ je surjektivní pak $S$ je izomorfní s $R/\ker \varphi$ .^[15]

Věta B (okruhy)

Nechť R je okruh. Nechť S je podokruh okruhu R, a nechť I je ideál okruhu R. Pak:

Součet S + I = {s + i | s ∈ S, i ∈ I } je podokruh okruhu R,
Průnik S ∩ I je ideál podokruhu S, a
Podílové okruhy (S + I) / I a S / (S ∩ I) jsou izomorfní.

Věta C (okruhy)

Nechť R je okruh, a I ideál okruhu R. Pak

Pokud $A$ je podokruh okruhu $R$ takový, že $I\subseteq A\subseteq R$ , pak $A/I$ je podokruh okruhu $R/I$ .
Každý podokruh okruhu $R/I$ má tvar $A/I$ pro nějaký podokruh $A$ okruhu $R$ takový, že $I\subseteq A\subseteq R$ .
Pokud $J$ je ideál okruhu $R$ takový, že $I\subseteq J\subseteq R$ , pak $J/I$ je ideál okruhu $R/I$ .
Každý ideál okruhu $R/I$ má tvar $J/I$ pro nějaký ideál $J$ okruhu $R$ takový, že $I\subseteq J\subseteq R$ .
Pokud $J$ je ideál okruhu $R$ takový, že $I\subseteq J\subseteq R$ , pak podílový okruh $(R/I)/(J/I)$ je izomorfní s $R/J$ .

Věta D (okruhy)

Nechť $I$ je ideál okruhu $R$ . Korespondence $A\leftrightarrow A/I$ je inkluzi zachovávající bijekce mezi množinou podokruhů $A$ okruhu $R$ , které obsahují $I$ , a množinou podokruhů okruhu $R/I$ . Navíc $A$ (podokruh obsahující $I$ ) je ideálem okruhu $R$ právě tehdy, když $A/I$ je ideálem okruhu $R/I$ .^[16]

Moduly

Tvrzení vět o izomorfismu pro moduly jsou zvláště jednoduchá, protože z libovolného podmodulu lze vytvořit podílový modul. Věty o izomorfismu vektorových prostorů (modulů nad komutativním tělesem) a Abelovy grupy (moduly nad $\mathbb {Z}$ ) jsou jeho speciálními případy. Pro konečněrozměrný vektorové prostory všechny tyto věty vycházejí z věty o dimenzích jádra a obrazu.

V následujícím textu bude „modul“ znamenat „R-modul“ pro nějaký pevný okruh R.

Věta A (moduly)

Nechť M a N jsou moduly, a nechť φ : M → N je modulový homomorfismus. Pak:

Jádro homomorfismu φ je podmodul modulu M,
Obraz homomorfismu φ je podmodul modulu N, a
Obraz homomorfismu φ je izomorfní s podílovým modulem M / ker(φ).

Speciálně pokud φ je surjektivní pak N je izomorfní s M / ker(φ).

Věta B (moduly)

Nechť M je modul, a nechť S a T jsou podmoduly modulu M. Pak:

Součet S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T} je podmodul modulu M,
Průnik S ∩ T je podmodul modulu M, a
Podílové moduly (S + T) / T a S / (S ∩ T) jsou izomorfní.

Věta C (moduly)

Nechť M je modul, T podmodul modulu M.

Pokud $S$ je podmodul modulu $M$ takový, že $T\subseteq S\subseteq M$ , pak $S/T$ je podmodul modulu $M/T$ .
Každý podmodul modulu $M/T$ má tvar $S/T$ pro nějaký podmodul $S$ modulu $M$ takový, že $T\subseteq S\subseteq M$ .
Pokud $S$ je podmodul modulu $M$ takový, že $T\subseteq S\subseteq M$ , pak podílový modul $(M/T)/(S/T)$ je izomorfní s $M/S$ .

Věta D (moduly)

Nechť $M$ je modul, $N$ podmodul modulu $M$ . Existuje bijekce mezi podmoduly modulu $M$ , který obsahuje $N$ a podmoduly modulu $M/N$ . Korespondence je dána vztahem $A\leftrightarrow A/N$ pro všechny $A\supseteq N$ . Tato korespondence komutuje s procesy nabývání součtů a průniků (tj. je svazovým izomorfismem mezi svazem podmodulů modulu $M/N$ a svazem podmodulů modulu $M$ , který obsahuje $N$ ).^[17]

Univerzální algebra

Pro zobecnění této věty na univerzální algebru je nutné nahradit normální podgrupy relací shodnosti.

Kongruence na algebře $A$ je relace ekvivalence $\Phi \subseteq A\times A$ , která tvoří podalgebru algebry $A\times A$ považovanou za algebru s operacemi po složkách. Je možné vytvořit množinu tříd ekvivalence $A/\Phi$ do algebry stejného typu tím, že definujeme operaci pro reprezentanty tříd; tato operace bude korektně definovaná, protože $\Phi$ je podalgebrou algebry $A\times A$ . Výslednou strukturu nazýváme faktoralgebra nebo podílová algebra.

Věta A (univerzální algebra)

Nechť $f:A\rightarrow B$ je algebrový homomorfismu. Pak obraz homomorfismu $f$ je podalgebrou algebry $B$ , vztah daný $\Phi :f(x)=f(y)$ (tj. jádrem homomorfismu $f$ ) je kongruence na $A$ , a algebry $A/\Phi$ a $\operatorname {im} f$ jsou izomorfní. (Všimněte si, že v případě grup $f(x)=f(y)$ právě tehdy, když $f(xy^{-1})=1$ , takže se v tomto případě vracíme k pojmu jádra používanému v teorii grup.)

Věta B (univerzální algebra)

Je dána algebra $A$ , podalgebra $B$ algebry $A$ , a kongruence $\Phi$ na $A$ , nechť $\Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)$ je stopa relace $\Phi$ v $B$ a $[B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}$ kolekce tříd ekvivalence, které protínají $B$ . Pak

$\Phi _{B}$ je kongruence na $B$ ,
$\ [B]^{\Phi }$ je podalgebrou algebry $A/\Phi$ , a
algebra $[B]^{\Phi }$ je izomorfní s algebrou $B/\Phi _{B}$ .

Věta C (univerzální algebra)

Nechť $A$ je algebra a $\Phi ,\Psi$ dvě relace shodnosti na $A$ takový, že $\Psi \subseteq \Phi$ . Pak $\Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}$ je kongruence na $A/\Psi$ , a $A/\Phi$ je izomorfní s $(A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).$

Věta D (univerzální algebra)

Nechť $A$ je algebra a označíme $\operatorname {Con} A$ množinu všech kongruencí na $A$ . Množina $\operatorname {Con} A$ je úplný svaz uspořádaný inkluzí.^[18] Pokud $\Phi \in \operatorname {Con} A$ je kongruence, a $\left\langle \Phi ,A\times A\right\rangle \subseteq \operatorname {Con} A$ budeme značit množinu všech kongruencí, které obsahují $\Phi$ (tj. $\left\langle \Phi ,A\times A\right\rangle$ je hlavní filtr v $\operatorname {Con} A$ , který je navíc podsvazem), pak zobrazení $\alpha :\left\langle \Phi ,A\times A\right\rangle \to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi$ je svazový izomorfismus.^[19]^[20]

Odkazy

Poznámky

↑ ^a ^b Milne (2013), Chap. 1, sec. Theorems concerning homomorphisms
↑ I. Martin Isaacs, 1994. Algebra: A Graduate Course. [s.l.]: American Mathematical Soc.. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-4799-2. S. 33.
↑ Paul Moritz Cohn, 2000. Classic Algebra. [s.l.]: Wiley. Dostupné online. ISBN 978-0-471-87731-8. S. 245.
↑ WILSON, Robert A., 2009. The Finite Simple Groups. [s.l.]: Springer-Verlag London. (Graduate Texts in Mathematics 251). ISBN 978-1-4471-2527-3. DOI 10.1007/978-1-84800-988-2.
↑ Jacobson (2009), sec 1.10
↑ van der Waerden, Algebra (1994).
↑ Durbin (2009), sec. 54
↑ [the names are] essentially the same as [van der Waerden 1994]^[7]
↑ Knapp (2016), sec IV 2
↑ Grillet (2007), sec. I 5
↑ Rotman (2003), sec. 2.6
↑ Fraleigh (2003), Chap. 14, 34
↑ DUMMIT, David Steven, 2004. Abstract algebra. 3. vyd. Hoboken, NJ: [s.n.]. Dostupné online. ISBN 0-471-43334-9. OCLC 52559229 S. 97–98.
↑ Scott (1964), secs 2.2 and 2.3
↑ MOY, Samuel, 2022. An Introduction to the Theory of Field Extensions [online]. UChicago Department of Math, 2022 [cit. 2022-12-20]. Dostupné online.
↑ DUMMIT, David S.; FOOTE, Richard M., 2004. Abstract algebra. Hoboken, NJ: Wiley. Dostupné online. ISBN 978-0-471-43334-7. S. 246.
↑ Dummit and Foote (2004), p. 349
↑ Burris and Sankappanavar (2012), p. 37
↑ Burris and Sankappanavar (2012), p. 49
↑ SUN, William. Is there a general form of the correspondence theorem? [online]. Mathematics StackExchange [cit. 2019-07-20]. Dostupné online.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Isomorphism theorems na anglické Wikipedii.

Noether, Emmy, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie v algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) pp. 26–61
McLarty, Colin, „Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors“. The architecture of Modern Mathematics: Essays v history and philosophy (editoři Jeremy Gray a José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
JACOBSON, Nathan, 2009. Basic algebra. 2. vyd. [s.l.]: Dover. ISBN 9780486471891.
Cohn, Paul M., Univeral algebra, Chapter II.3 p. 57
MILNE, James S., 2013. Group Theory. [s.l.]: [s.n.]. Dostupné online.
VAN DER WAERDEN, B. I., 1994. Algebra. 9. vyd. [s.l.]: Springer-Verlag.
DUMMIT, David S.; FOOTE, Richard M., 2004. Abstract algebra. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
BURRIS, Stanley; SANKAPPANAVAR, H. P., 2012. A Course in Universal Algebra. [s.l.]: [s.n.]. Dostupné online. ISBN 978-0-9880552-0-9.
Scott, W. R., 1964. Group Theory. [s.l.]: Prentice Hall.
Durbin, John R., 2009. Modern Algebra: An Introduction. 6. vyd. [s.l.]: Wiley. ISBN 978-0-470-38443-5.
Knapp, Anthony W., 2016. Basic Algebra. Digital 2. vyd. [s.l.]: [s.n.].
Grillet, Pierre Antoine, 2007. Abstract Algebra. 2. vyd. [s.l.]: Springer.
Rotman, Joseph J., 2003. Advanced Modern Algebra. 2. vyd. [s.l.]: Prentice Hall. ISBN 0130878685.
Hungerford, Thomas W., 1980. Algebra (Graduate Texts in Mathematics, 73). [s.l.]: Springer. ISBN 0387905189.

[milne-1] Milne (2013), Chap. 1, sec. Theorems concerning homomorphisms

[Isaacs1994-2] I. Martin Isaacs, 1994. Algebra: A Graduate Course. [s.l.]: American Mathematical Soc.. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-4799-2. S. 33.

[Cohn2000-3] Paul Moritz Cohn, 2000. Classic Algebra. [s.l.]: Wiley. Dostupné online. ISBN 978-0-471-87731-8. S. 245.

[4] WILSON, Robert A., 2009. The Finite Simple Groups. [s.l.]: Springer-Verlag London. (Graduate Texts in Mathematics 251). ISBN 978-1-4471-2527-3. DOI 10.1007/978-1-84800-988-2.

[5] Jacobson (2009), sec 1.10

[6] van der Waerden, Algebra (1994).

[7] Durbin (2009), sec. 54

[8] [the names are] essentially the same as [van der Waerden 1994]^[7]

[9] Knapp (2016), sec IV 2

[10] Grillet (2007), sec. I 5

[11] Rotman (2003), sec. 2.6

[12] Fraleigh (2003), Chap. 14, 34

[13] DUMMIT, David Steven, 2004. Abstract algebra. 3. vyd. Hoboken, NJ: [s.n.]. Dostupné online. ISBN 0-471-43334-9. OCLC 52559229 S. 97–98.

[14] Scott (1964), secs 2.2 and 2.3

[15] MOY, Samuel, 2022. An Introduction to the Theory of Field Extensions [online]. UChicago Department of Math, 2022 [cit. 2022-12-20]. Dostupné online.

[16] DUMMIT, David S.; FOOTE, Richard M., 2004. Abstract algebra. Hoboken, NJ: Wiley. Dostupné online. ISBN 978-0-471-43334-7. S. 246.

[17] Dummit and Foote (2004), p. 349

[18] Burris and Sankappanavar (2012), p. 37

[19] Burris and Sankappanavar (2012), p. 49

[20] SUN, William. Is there a general form of the correspondence theorem? [online]. Mathematics StackExchange [cit. 2019-07-20]. Dostupné online.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[7]