Théorèmes d'isomorphisme
En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.
Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Anneau quotient », « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ».
Premier théorème d'isomorphisme
[modifier | modifier le code]Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes , on peut rendre injectif en quotientant par son noyau Ker f, qui est un sous-groupe normal de G.
Premier théorème d'isomorphisme[1] — Soit un morphisme de groupes. Alors induit un isomorphisme .
Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.
Deuxième théorème d'isomorphisme
[modifier | modifier le code]Deuxième théorème d'isomorphisme[2] — Soient un groupe, un sous-groupe normal de et un sous-groupe de . Alors est un sous-groupe normal de , et on a l'isomorphisme suivant :
La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de contient (au lieu de le supposer égal à tout entier).
Troisième théorème d'isomorphisme
[modifier | modifier le code]Troisième théorème d'isomorphisme[3] — Soient un groupe et et deux sous-groupes normaux de tels que soit inclus dans . Alors est un sous-groupe normal de et on a l'isomorphisme suivant :
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Pour une démonstration, voir par exemple .
- Pour une démonstration, voir par exemple .
- Pour une démonstration, voir par exemple .
Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chapitre I, § 4
