Conxunto infinito
Na teoría de conxuntos, un conxunto infinito é un conxunto que non é un conxunto finito. Os conxuntos infinitos poden ser numerábeis ou incontábeis (non numerábeis).[1]
Propiedades
[editar | editar a fonte]O conxunto de números naturais (cuxa existencia é postulada polo axioma do infinito) é infinito.[1] É o único conxunto que require directamente os axiomas para ser infinito. A existencia de calquera outro conxunto infinito pódese probar na teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), mais só mostrando que se deduce da existencia dos números naturais.
Un conxunto é infinito se e só se para cada número natural, o conxunto ten un subconxunto cuxa cardinalidade é ese número natural.[2]
Se se cumpre o axioma de escolla, entón un conxunto é infinito se e só se inclúe un subconxunto infinito numerábel.
Se un conxunto de conxuntos é infinito ou contén un elemento infinito, entón a súa unión é infinita.
O conxunto potencia dun conxunto infinito é infinito.[3] Calquera superconxunto dun conxunto infinito é infinito.
Se un conxunto infinito está dividido en moitos subconxuntos finitos, polo menos un deles debe ser infinito.
Calquera conxunto que se pode mapear nun conxunto infinito é infinito.
O produto cartesiano dun conxunto infinito e dun conxunto non baleiro é infinito.
O produto cartesiano dun número infinito de conxuntos, cada un contén polo menos dous elementos, é baleiro ou infinito; se se cumpre o axioma da escolla, entón é infinito.
Se un conxunto infinito é un conxunto ben ordenado, entón debe ter un subconxunto non baleiro e non trivial que non teña o maior elemento.
En ZF, un conxunto é infinito se e só se o conxunto de partes do seu conxunto de partes é un conxunto infinito de Dedekind, tendo un subconxunto propio equinúmero a si mesmo.[4] Se o axioma da escolla tamén é certo, entón os conxuntos infinitos son precisamente os conxuntos infinitos de Dedekind.
Se un conxunto infinito é un conxunto ben ordenado, entón ten moitas relacións ben ordenadas que non son isomorfas.
Exemplos
[editar | editar a fonte]Conxuntos numerábeis infinitos
[editar | editar a fonte]O conxunto de todos os números enteiros, {..., − 1, 0, 1, 2, ...} é un conxunto infinito numerábel. O conxunto de todos os enteiros pares tamén é un conxunto infinito numerábel, aínda que sexa un subconxunto propio dos enteiros.[3]
O conxunto de todos os números racionais é un conxunto numerábel infinito xa que hai unha bixección co conxunto de enteiros.[3]
Conxuntos incontábeis infinitos
[editar | editar a fonte]O conxunto de todos os números reais é un conxunto incontabelmente infinito. O conxunto de todos os números irracionais é tamén un conxunto incontabelmente infinito.[3]
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ 1,0 1,1 Bagaria, Joan (2019). Zalta, Edward N., ed. Set Theory (Fall 2019 ed.). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Consultado o 2019-11-30.Bagaria, Joan (2019), "Set Theory", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2019-11-30
- ↑ Boolos, George (1998). Logic, Logic, and Logic (illustrated ed.). Harvard University Press. p. 262. ISBN 978-0-674-53766-8.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Caldwell, Chris. "The Prime Glossary — Infinite". primes.utm.edu. Consultado o 2019-11-29.
- ↑ Boolos, George (1994). Mathematics and mind (Amherst, MA, 1991). Oxford Univ. Press, New York.. See in particular pp. 32–33.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte] |
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Conxunto infinito |
