Conxunto

O concepto de conxunto na Matemática é intuitivo e poderiamos definilo como unha colección de varios obxectos ou elementos, sen importar a súa orde e feita con calquera criterio. Un conxunto está ben definido se é sabido se un determinado elemento pertence ou non ao conxunto.

Os conxuntos represéntanse cunha letra maiúscula.

Dous conxuntos A e B son iguais cando posúen precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é un elemento de B e cada elemento de B é un elemento de A.

Notación

Normalmente, úsanse letras maíusculas para representar os conxuntos e letras minúsculas para representar os elementos dun conxunto dado. Se $A$ é un conxunto e $a,b,c,d,e$ todos os seus elementos, é frecuente escribir:

A=\{a,b,c,d,e\}

(1)

para definir tal conxunto $A$ . A notación empregada en (1) para definir o conxunto $A$ chámase notación por extensión.

Para representar que un elemento $~x$ pertence a un conxunto $A$ , escríbese $x\in A$ (léase ben $x$ no $A$ , ben $~x$ pertence ao $A$ ). A negación de $x\in A$ escríbese $x\notin A$ (léase $x$ non pertence ao $A$ ).

Se todos os elementos $x$ dun conxunto $A$ satisfán algunha propiedade —que pode representarse como unha proposición $p\left(x\right)$ coa indeterminada $~x$ —, usamos a notación por comprensión, e pode definirse:

A=\{x:p\left(x\right)\}

A é o conxunto de elementos x, que cumpren p(x), onde o símbolo : lese "cúmprese que", e pode ser substituído por unha barra

\mid

"tal que".

Por exemplo, o conxunto $~A=\{1,2,3,4\}$ pode definirse por:

A=\{n:1\leq n\leq 4,n\in \mathbb {N} \}

.

O símbolo $\mathbb {N}$ representa o conxunto dos números naturais.

Subconxuntos e superconxuntos

Un conxunto $A$ dise subconxunto doutro $B$ , se todos os elementos do $~A$ son tamén elementos do $B$ ; matematicamente:

x\in A\qquad \Rightarrow \qquad x\in B

,

sexa cal for o elemento $x$ . Así, escríbese $A\subseteq B$ .

Deberá ser sinalado que, por definición, non se exclúe a posibilidade de se $A\subseteq B$ , cumprirse $A=B$ . Se o $B$ ten ao menos un elemento que non pertenza ao conxunto $A$ , mais se todos os elementos do $~A$ son elementos do $B$ , entón dicimos que $~A$ é un subconxunto propio do $~B$ , o que se representa como $A\subset B$ .

Se o $A$ é un subconxunto do $B$ , dicimos tamén que o $B$ é un superconxunto do $A$ , o que se escribe $B\supseteq A$ . Logo

B\supseteq A\quad \Leftrightarrow \quad A\subseteq B

,

e tamén:

B\supset A\quad \Leftrightarrow \quad A\subset B

,

significando $B\supset A$ que o $B$ é superconxunto propio do $A$ .

Polo principio de indentidade, é sempre certo $x\in A\Rightarrow x\in A$ , para todos os elementos $x$ , polo que todo conxunto é subconxunto (e tamén superconxunto) de si mesmo.

Vemos que $\subseteq$ é unha relación de orde sobre un conxunto $S$ de conxuntos, pois

$A\subseteq A$			$\subseteq$ é reflexiva.
$A\subseteq B\wedge B\subseteq A$	$\qquad \Rightarrow \qquad$	$A=B\,$	$\subseteq$ é antisimétrica
$A\subseteq B\wedge B\subseteq C$	$\qquad \Rightarrow \qquad$	$A\subseteq C$	$\subseteq$ é transitiva

Conxunto baleiro

O conxunto baleiro ou conxunto vacío é un conxunto que non posúe elementos. Represéntase por $\{\}$ ou $\emptyset$ .

Todo conxunto posúe como subconxunto o conxunto baleiro. Podemos mostrar isto supondo que se o conxunto baleiro non pertence ao conxunto en cuestión, entón o conxunto baleiro debe posuír un elemento ao menos que non pertenza a este conxunto. Como o conxunto baleiro non posúe elementos, isto non é posíbel. Como todos os conxuntos baleiros son iguais uns aos outros, é permisíbel falar dun único conxunto sen elementos.

Operacións cos conxuntos

Sexan $~A$ e $~B$ dous conxuntos.

Unión

Os elementos que pertencen ao $~A$ ou ao $~B$ ou a ambos os dous $~A$ e $~B$ , forman outro conxunto, chamado unión de $~A$ e $~B$ , escrito $A\cup B$ . Matematicamente:

A\cup B=\{x:x\in A\quad \vee \quad x\in B\}

.

Intersección

Os elementos comúns de $~A$ e mais de $~B$ forman un conxunto denominado intersección de $~A$ e $~B$ , representado por $A\cap B$ :

A\cap B=\{x:x\in A\quad \wedge \quad x\in B\}

.

Se dous conxuntos $~A$ e $~B$ son tales que $A\cap B=\emptyset$ , entón $~A$ e $~B$ dinse conxuntos disxuntos.

Diferenza

Os elementos dun conxunto $~A$ que non se atopan noutro conxunto $~B$ , forman outro conxunto chamado diferenza de $~A$ e $~B$ , representado por, $A\setminus B$ :

A\setminus B=\{x:x\in A\quad \wedge \quad x\notin B\}

.

Operacións externas

En operacións básicas, todos os elementos de conxuntos producidos por operacións de conxunto pertencen a conxuntos previamente definidos.

Neste apartado considéranse outras operacións de conxuntos, que producen conxuntos cuxos elementos poden estar fóra de todos os conxuntos considerados anteriormente. Estas operacións son o produto cartesiano,a unión disxunta e o conxunto potencia.

Produto cartesiano

Artigos principais: Produto cartesiano e Produto directo.

O produto cartesiano de dous conxuntos xa se utilizou para definir funcións.

Dados dous conxuntos $A_{1}$ e $A_{2}$ , o seu produto cartesiano, denotado $A_{1}\times A_{2}$ é o conxunto formado por todos os pares ordenados $(a_{1},a_{2})$ tal que $a_{1}\in A_{1}$ e $a_{i}\in A_{1}$ ; é dicir,

A_{1}\times A_{2}=\{(a_{1},a_{2})\mid a_{1}\in A_{1}\land a_{2}\in A_{2}\}.

Esta definición non presupón que os dous conxuntos sexan diferentes. En particular,

A\times A=\{(a_{1},a_{2})\mid a_{1}\in A\land a_{2}\in A\}.

Dado que esta definición implica un par de índices (1,2), xeneralízase directamente ao produto cartesiano ou produto directo de calquera familia indexada de conxuntos:

\prod _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}=\{(a_{i})_{i\in {\mathcal {I}}}\mid (\forall i\in {\mathcal {I}})\;a_{i}\in A_{i}\}.

É dicir, os elementos do produto cartesiano dunha familia de conxuntos son todas as familias de elementos tal que cada un pertence ao conxunto do mesmo índice. O feito de que, para cada familia indexada de conxuntos non baleiros, o produto cartesiano sexa un conxunto non baleiro está asegurado polo axioma da escolla.

Conxunto potencia

Artigo principal: Conxunto de partes.

O conxunto de potencias dun conxunto $E$ é o conxunto que ten todos os subconxuntos de $E$ como elementos, incluído o conxunto baleiro e o propio $E$ .^[1]

Adoita denotase ${\mathcal {P}}(E)$ . Por exemplo,

{\mathcal {P}}(\{1,2,3\})=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.

Unión disxunta

Artigo principal: Unión disxunta.

A unión disxunta de dous ou máis conxuntos é semellante á unión, mais, se dous conxuntos teñen elementos en común, estes elementos considéranse distintos na unión disxunta. Isto obtense etiquetando os elementos polos índices do conxunto do que proceden.

A unión disxunta de dous conxuntos $A$ e $B$ denomínase comunmente $A\sqcup B$ e así defínese como

A\sqcup B=\{(a,i)\mid (i=1\land a\in A)\lor (i=2\land a\in B\}.

Se $A=B$ é un conxunto con $n$ elementos, entón $A\cup A=A$ ten $n$ elementos, mentres que $A\sqcup A$ ten $2n$ elementos.

A unión disxunta de dous conxuntos é un caso particular da unión disxunta dunha familia indexada de conxuntos, que se define como

\bigsqcup _{i\in {\mathcal {I}}}=\{(a,i)\mid i\in {\mathcal {I}}\land a\in A_{i}\}.

A unión disxunta é o coproduto na categoría de conxuntos. Polo tanto a notación

\coprod _{i\in {\mathcal {I}}}=\{(a,i)\mid i\in {\mathcal {I}}\land a\in A_{i}\}

úsase habitualmente.

Cardinalidade

Artigos principais: Cardinalidade e Número cardinal.

Informalmente, a cardinalidade dun conxunto $S$ , a miúdo denotada $| S |$ , é o número dos seus membros.^[2]

Este número é o número natural $n$ cando hai unha bixección entre o conxunto que se considera e o conxunto $\{1,2,\ldots ,n\}$ dos $n$ primeiros números naturais. A cardinalidade do conxunto baleiro é $0$ .^[3]En ambos os casos, dise que o conxunto é un conxunto finito. En caso contrario, temos un conxunto infinito.

Conxuntos infinitos e cardinalidade infinita

Algunhas cardinalidades infinitas son maiores que outras. Sen dúbida, un dos resultados máis significativos da teoría de conxuntos é que o conxunto de números reais ten maior cardinalidade que o conxunto de números naturais.^[4]

Os conxuntos con cardinalidade menor ou igual á de $\mathbb {N}$ chámanse conxuntos numerábeis. Os conxuntos cunha cardinalidade estritamente maior que a de $\mathbb {N}$ chámanse conxuntos non numerábeis.

A hipótese do continuo

Artigo principal: Hipótese do continuo.

A hipótese do continuo, formulada por Georg Cantor en 1878, é a afirmación de que non existe un conxunto con cardinalidade estritamente entre a cardinalidade dos números naturais e a cardinalidade dunha recta.^[5]

Funcións

Artigo principal: Función (matemáticas).

Unha función dun conxunto $A$ , o dominio, a un conxunto $B$ , o codominio, é unha regra que asigna a cada elemento de $A$ un elemento único de $B$ . Por exemplo, a función elevar ao cadrado asigna a cada número real $x$ a $x 2$ . As funcións pódense definir formalmente en termos de conxuntos por medio da súa gráfica, que son subconxuntos do produto cartesiano do dominio e do codominio.

Álxebra de conxuntos

Sexan A, B, e C conxuntos calquera, logo:

A ∩ A = A
A ∪ A = A
A - A = Ø
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
(B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
(B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
A ⊆ B ↔ A ∩ B = A
A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
A ⊆ B ↔ A - B = Ø
A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
A ∩ Ø = Ø
A ∪ Ø = A
Ø - A = Ø
A - Ø = A

Sexa U un conxunto tal que A, B, e C son subconxuntos do U (utilízase a notación A' := U - A). Entón:

A'' = A
B - A = A' ∩ B
(B - A)' = A ∪ B'
A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
A ∩ U = A
A ∪ U = U
U - A = A'
A - U = Ø

Notas

↑ John F. Lucas (1990). Introduction to Abstract Mathematics. Rowman & Littlefield. p. 108. ISBN 978-0-912675-73-2.
↑ Yiannis N. Moschovakis (1994). Notes on Set Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-94180-4.
↑ Karl J. Smith (7 January 2008). Mathematics: Its Power and Utility. Cengage Learning. p. 401. ISBN 978-0-495-38913-2.
↑ John Stillwell (16 October 2013). The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-01577-4.
↑ Cantor, Georg (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 1878 (84): 242–258. doi:10.1515/crll.1878.84.242.

Véxase tamén

Bibliografía

Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN 0-691-02447-2.
Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory. Princeton, N.J.: Van Nostrand. ISBN 0-387-90092-6.
Stoll, Robert R. (1979). Set Theory and Logic. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-63829-4.
Velleman, Daniel (2006). How To Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. ISBN 0-521-67599-5.

Outros artigos

Ligazóns externas

[Lucas1990-1] John F. Lucas (1990). Introduction to Abstract Mathematics. Rowman & Littlefield. p. 108. ISBN 978-0-912675-73-2.

[Moschovakis1994-2] Yiannis N. Moschovakis (1994). Notes on Set Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-94180-4.

[Smith2008-3] Karl J. Smith (7 January 2008). Mathematics: Its Power and Utility. Cengage Learning. p. 401. ISBN 978-0-495-38913-2.

[Stillwell2013-4] John Stillwell (16 October 2013). The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-01577-4.

[Cantor1878-5] Cantor, Georg (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 1878 (84): 242–258. doi:10.1515/crll.1878.84.242.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]