Àireamh

’S e àireamh a ni mìneachadh air uimhir. Ma tha trì ùbhlan againn, tha am facal trì ag innse dhuinn na tha againn de dh’ ùbhlan. Nam biodh a cheithir againn, b’ e sin a h-aon air bharrachd air a trì agus b’ e chòig a h-aon air bharrachd air sin. ’S ann às an fheart shìmplidh seo a thàinig an cunntadh. Canar na h-àireamhan nàdarra ris na h-àireamhan as sìmplidh mar a tha seo, ach tha am bun-bheachd air a bhith a’ leudachadh anns a’ chiad dol-a-mach gus bloighean agus àireamhan àicheil a thoirt a-steach, agus nuair sin do dh’àireamhan ìomhaigheach agus àireamhan co-fhillte. ’S a thuilleadh air sin tha àireamhan le seallaidhean nas àirde ann, mar eisimpleir na ceithirneanan agus na h-ochdòineanan ged nach eil iadsan cho feumail chionns gu bheil feartan cudromach de dh’àireamhachd (.i. co-iomlaideachd agus co-thiomsachd) air an call.

Tha àireamhan air an sgrìobhadh le figearan. ’S ann bho Arabais a thàinig cumaidhean nam figearan againne bho thùs agus ’s e figearan Arabach a chanar riutha airson eadar-dhealachadh a dhèanamh bho fhigearan Ròmanach. Ach tha e cumanta àireamh a ràdh an àite figeir agus tha na briathran àireamhan Arabach agus àireamhan Ròmanach cumanta. Tha e cudromach eadar-sgaradh a dhèanamh nar n-inntinn eadar àireamh mar fhigear agus àireamh mar uimhir.

Nar cainnt làitheil, tha àireamhan air an cur gu feum cuideachd airson ainm a thoirt do rudan far a bheil tòrr mòr dhiubh a tha coltach ri chèile (me. àireamhan thaighean air sràid, àireamhan fòn, àireamhan cataloig). Tha seo a’ cur òrdugh nan àireamh ris na rudan sin ged nach fhaod an t-òrdugh a bhith follaiseach no iomlan no fiù ’s an dùil. Mas e an rùn an t-òrdugh a dhèanamh soilleir, tha riochd sònraichte aig àireamhan (1^d, 2^ra, 3^mh, ..., msaa.) aig a bheil na h-àireamhan òrdail. ’S e na h-àireamhan àrdail an riochd roimhe (.i. 1, 2, 3, ..., msaa.).

Ainmean àireamhan

Tha dà shiostam ann airson àireamhan a dh’ ainmeachadh – an siostam traidiseanta agus an siostam deicheach. Anns an t-siostam thraidiseanta thathar a’ cunntadh le ficheadan (me. trì fichead ’s a deich, ceithir fichead taigh ’s a còig, seachd pileachan ar fhichead, agus mar sin air adhart). Anns an t-siostam dheicheach tha facal air leth do gach iomad a deich (fichead, trithead, ceathrad, caogad, seasgad, seachdad, ochdad, naochad). ’S e seo an siostam a thathar a-nis a’ teagasg anns na sgoiltean.

Chan eil diofar eadar an dà shiostam leis na h-àireamhan gu fichead, ach bho seo a-mach cumaidh an siostam deicheach an àireamh àrdail le chèile (me. fichead ’s a h-aon bà, trithead ’s a dhà bà, ceathrad ’s a trì bà). Mar a bhite an dùil, ’s e ainmear singilte a leanas na h-iomadan a deich. Ann an suidheachadh matamataigeach, ge-tà, tha a h-uile àireamh air a cumail ri chèile, agus leughar 15x mar chòig-deug x.

Àireamhan nàdarra

’S e na h-àireamhan nàdarra na h-àireamhan as bunasaich. Is iadsan na h-àireamhan 1, 2, 3, ... agus mar sin air adhart, ged tha feadhainn uaireannan a’ cur neoni riutha cuideachd. Tha na h-àireamhan seo an dara cuid cothroim (2, 4, 6, ... ) no còrr (1, 3, 5, ... ). Tha iad uile dearbh. Faodaidh a’ mhòr chuid a bhith air am factaradh mar toradh àireamhan nas lugha. Mar eisimpleir:

12 = 3 × 4

816 = 17 × 16 × 3

Ach tha cuid ann nach bi (me. 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... ). Canar riuthasan a prìomh-àireamhan agus a-mach air a dhà, tha iad uile còrr. Tha am feart aig gach àireamh nàdarra gum faod i bhith air am factaradh mar thoradh phrìomh-àireamhan:

12 = 2 × 2 × 3

816 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 17

agus chan eil ann ach aon fhactaradh den t-seòrsa seo. ’S e seo Teòiridh Bhunaiteach na h-Àireamhachd.

’S e N a th’ ann mar chomharra air seata nan àireamhan nàdarra. Faodar a sgrìobhadh N⁰, gu bhith soilleir gu bheil neoni anns an t-seata, agus N⁺ gu bhith soilleir nach eil.

Slàn-àireamhan

Tha na slàn-àireamhan a’ toirt a-steach na h-àireamhan nàdarra, neoni, agus na h-àireamhan slàn àicheil. Is àicheil gach àireamh a tha nas lugha na neoni, agus dearbh gach àireamh a tha nas mò na neoni. Tha àireamh àicheil air a sgrìobhadh leis a’ chomharra “−” mar roi-leasachadh oirre. Mar eisimpleir, ’s e àireamh dhearbh a th’ anns 5 agus àireamh àicheil a th’ anns −5. Anns an t-seagh seo, ’s e obrachadh a tha ann an “−” a dh’atharraicheas àireamh dhearbh gu bhith àicheil.

Ma chuirear àireamh dhearbh ri àireimh àicheil den aon mheud, ’s e neoni a’ bhuil:

x + (−x) = 0

Nise, ma bheirear −x air falbh bho gach taobh:

x + (−x) − ( −x )	= 0 − ( −x )
x	= −( −x )

Agus tha e soilleir gur e àireamh dhearbh a th’ ann an àireamh àicheil àicheil agus ’s e obrachadh iom-thionndaidh a th’ anns an obrachadh “−”.

’S e Z (Gearmailtis: Zahlen) an comharra air seata nan slàn-àireamhan.

Àireamhan coimeasta

Ma faodar àireamh sgrìobhadh mar cho-mheas dà shlàn-àireimh (.i. mar bhloigh chumanta), ’s e àireamh choimeasta a th’ innte. Tha na slàn-àireamhan uile nan àireamhan coimeasta oir faodar am sgrìobhadh an riochd bloigh leis an t-seòrsaiche 1:

$2={\tfrac {2}{1}}$,

$3={\tfrac {3}{1}}$,

$-4={\tfrac {-4}{1}}$.

Tha bloighean ann nach eil nan slàn-àireamhan:

${\tfrac {1}{2}}$,

$-{\tfrac {3}{5}}$,

${\tfrac {22}{7}}$.

’S urrainnear àireamh choimeasta a’ sgrìobhadh le iomadh bloigh no le comharrachadh deicheach:

${\tfrac {25}{8}}={\tfrac {50}{16}}={\tfrac {175}{56}}=3.125$

Biodh b agus c nan àireamhan coimeasta, agus biodh

$c={\tfrac {1}{b}}$

Canaidh sinn gur co-thionndadh b a tha ann an c. Tha e soilleir gu bheil:

$a\times c=a\times {\tfrac {1}{b}}={\tfrac {a}{b}}=a\div b$

agus tha iomadachadh agus roinneadh an aon rud air na h-àireamhan coimeasta. ’S e Q (Beurla: Quotient) an t-ainm aig seata nan àireamhan coimeasta, agus ’s e for-sheata Z a th’ ann. Anns a’ chànan fhoirmeil:

$Q=\{{\tfrac {m}{n}}:m,n\in Z,n\neq 0\}$

agus tha e soilleir gu bheil N ⊂ Z ⊂ Q.

Fìor-àireamhan

Tha àireamhan ann nach eil coimeasta. ’S docha gu bheil π (pì) an tè as ainmeil. ’S e seo co-mheas a’ chearcall-thomhais le trasd-thomhas a’ chearcaill, ach chan eil ann dà shlàn-àireamh m agus n far a bheil:

$\pi ={\tfrac {m}{n}}$

Tha àireamhan coimeasta ann (.i. co-mheas shlàn-àireamhan) a tha nan tuairmse mhath oirre. Mar eisimpleir,

tha	${\tfrac {22}{7}}$	mu thuaiream	0.04% ro àrd,
	${\tfrac {355}{113}}$		0.000008% ro àrd,
	${\tfrac {104348}{33215}}$		0.00000001% ro àrd, agus
	${\tfrac {833719}{265382}}$		0.0000000003% ro iosal.

’S urrainn dhuinn tuairmse fhaighinn as eagnaidh as bu toigh leinn ach chan eil co-mheas ann a tha ceart-cho-ionann ri π. Agus tha eisimpleirean eile ann. Canar àireamhan eucoimeasta ri àireamhan den t-seòrsa.

Canar na fìor-àireamhan ri seata nan àireamhan uile seo – ris an t-seata a tha a’ toirt a-steach na h-àireamhan coimeasta agus na h-àireamhan eucoimeasta. ’S e R (Beurla: Real) a th’ ann mar chomharra air an t-seata seo. ’S urrainn do na fìor-àireamhan a bhith air an riochdachadh mar loidhne (’s e loidhne àireamh a chanar rithe). Air an loidhne seo, tha neoni sa mheadhan, na h-àireamhan dearbh gu deas agus na h-àireamhan àicheil gu clì. Tha an loidhne a’ ruith gu neo-chrìochnachd air gach taobh. ’S urrainn do gach fìor-àireamh a bhith air an riochdachadh mar phuing air an loidhne seo.

Àireamhan co-fhillte

Thàinig seòrsa ùr de dh’àireamhan bhon cheist a bheil freumh ceàrnagach aig àireamh àicheil. Tha ceàrnag aig gach fìor-àireamh (dhearbh no àicheil) ach tha na ceàrnagan uile dearbh:

52 = 5 × 5 = 25;

−52 = −5 × −5 = 25

Chan eil fìor-àireamh ann a dhèanadh àireamh àicheil nam biodh i air a h-iomadachadh leatha fhèin. Mar sin, canar àireamh ìomhaigheach ri àireamh den t-seòrsa a ni àireamh àicheil nuair a tha i air a h-iomadachadh leatha fhèin. Tha comharra sònraichte aig √(-1) agus ’s e i a th’ ann. À seo:

√(−4) = √{(−1) × 4} = √−1 √4 = i 2

Mar a b’ urrainn dhuinn na fìor-àireamhan sgrìobhadh mar 2 × 1, -3.14159 × 1, π × 1, ’s mar sin air adhart, tha na h-àireamhan ìomhaigheach air an sgrìobhadh 2 × i, -3.14159 × i, π × i, no mar as cumanta: 2i, -3.14159i, π i.

’S e I an t-ainm a tha ann air seata nan àireamhan ìomhaigheach agus anns a’ chànan fhoirmeil:

I= { a i : a ∈ R, i = √−1 }

Tha àireamh ìomhaigheach mu choinneamh gach fìor-àireamh. Mas urrainnear na fìor-àireamhan riochdachadh mar loidhne àireamh, ’s ann as urrainnear na h-àireamhan ìomhaigheach, ach feumaidh loidhne àireamh ìomhaigheach a bhith tur eadar-dhealaichte. Ged thà, tha e soilleir gu bheil:

0i = 0 × i = 0

’S e an aon rud “neoni ìomhaigheach” agus “fìor-neoni”. ’S ann a leanas gu bheil loidhne nan àireamhan ìomhaigheach a’ trasnadh loidhne nam fìor-àireamhan aig neoni. Thèid a riochdachadh mar dhiagram mar tha seo. Canar Argand-diagram ri diagram den t-seòrsa seo.

’S e fìor-àireamh gach puing air an loidhne R. Chan eil pàirt ìomhaigheach aig fìor-àireamh – tha an loidhne R tro 0i. Anns an aon dòigh, chan eil pàirt fìor aig àireimh ìomhaighich (puing air loidhne I). Ach tha e soilleir gu bheil puingean air an diagram, mar eisimpleir P aig a bheil pàirtean fìor agus ìomhaigheach. Sgrìobhar:

P = 3 + 2i

agus canar àireamh cho-fhillte rithe oir ’s e filleadh fìor-àireamh agus àireamh ìomhaigheach a tha innte. Ged tha bun-bheachd nan àireamhan co-fhillte gu math easchruthach, tha na h-àireamhan seo air leth feumail ann am fiosaig ’s ann an innleadaireachd.

’S e C an comharra air seata nan àireamhan co-fhillte. Anns a’ chànan fhoirmeil:

C = { a + i b : a, b ∈ R, i = √−1 }

’S e na fìor-àireamhan am fo-sheata far a bheil b = 0. ’S mar sin tha:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

’S ann dùinte a tha obrachadh àireamhachd far a bheil buil an obrachaidh den aon seata. Mar eisimpleir tha cur-ris dùinte leis na h-àireamhan nàdarra oir ’s e àireamh nàdarra a tha ann an c far a bheil c = a + b ge b’ e air bith dè luach a tha air a agus b ach gum biodh iad nan àireamhan nàdarra. Ach chan eil toirt air falbh dùinte. ’S e àireamhan nàdarra a tha anns 5 agus 7 ach chan e àireamh nàdarra a tha anns an 5 − 7 ( = −2 ). Chan eil ach cur-ris agus iomadachadh dùinte leis na h-àireamhan nàdarra. Tha toirt air falbh dùinte cuideachd leis na slàn-àireamhan, agus roinneadh leis na h-àireamhan coimeasta agus na fìor-àireamhan. Ach tha na h-obrachaidhean àireamhachd uile dùinte (togail gu cumhachd nam measg) leis na h-àireamhan co-fhillte.