Rhif

Symbol mathemategol o wrthrych neu wrthrychau ydy rhif, a ddefnyddir i gyfri a mesur. Fe'i defnyddir hefyd fel label e.e. rhifau ffôn neu i archebu nwyddau drwy rif cyfresol (Saesneg: serial number). Dros y blynyddoedd mae'r hyn rydym yn ei dderbyn o dan y teitl "rhif" hefyd yn cynnwys 0 (sef sero) a rhifau negatif. Y rhan o fathemateg lle astudir rhifedd gan fwyaf ydy algebra.

Mae rhif yn wrthrych mathemategol a ddefnyddir i gyfrif, mesur a labelu. Yr enghreifftiau gwreiddiol yw'r rhifau naturiol 1, 2, 3, 4, ac ati.^[1] Gellir cynrychioli rhifau mewn iaith gyda geiriau "un, dau, tri..." . Yn fwy cyffredinol, gellir cynrychioli rhifau unigol gan symbolau, a elwir mewn mathemateg yn rhifolion; er enghraifft, mae "5" yn rhifolyn sy'n cynrychioli'r rhif pump. Gan mai dim ond nifer gymharol fach o symbolau y gellir eu cofio, trefnir rhifolion sylfaenol yn aml mewn system rifol, sy'n ffordd drefnus i gynrychioli unrhyw rif. Y system rifol fwyaf cyffredin yw'r system rifol Hindwaidd-Arabeg, sy'n defnyddio cyfuniad o ddeg symbol rhifol sylfaenol, o'r enw digidau.^[2]^[3] Yn ychwanegol at eu defnyddio wrth gyfrif a mesur, defnyddir rhifolion yn aml ar gyfer labeli (fel gyda rhifau ffôn), ar gyfer trefnu (fel gyda rhifau cyfresol), ac ar gyfer codau (fel gydag ISBNs). Mewn defnydd cyffredin, yr un yw rhifolyn a rhif. Mewn mathemateg, mae'r syniad o rif wedi'i ymestyn dros y canrifoedd i gynnwys 0,^[4] rhifau negyddol,^[5] rhifau cymarebol fel hanner $\left({\tfrac {1}{2}}\right)$ , rhifau real fel ail isradd 2 $\left({\sqrt {2}}\right)$ a pei / π,^[6] a rhifau cymhlyg ^[7] sy'n ymestyn y rhifau real gyda bôn −1 (a'i gyfuniadau â rhifau real trwy adio neu dynnu ei luosrifau).^[5] Gwneir cyfrifiadau â rhifau gyda gweithrediadau rhifyddol, a'r mwyaf cyfarwydd yw adio, tynnu, lluosi, rhannu ac esbonydd. Gelwir eu hastudiaeth neu eu defnydd yn rhifyddeg, term a all hefyd gyfeirio at theori rhif, sef yr astudiaeth o briodweddau rhifau. Heblaw am eu defnydd ymarferol, mae gan rifau arwyddocâd diwylliannol ledled y byd.^[8]^[9] Er enghraifft, yng nghymdeithas y Gorllewin, mae'r rhif 13 yn aml yn cael ei ystyried yn anlwcus, a gall "miliwn" ddynodi "llawer" yn hytrach nag union faint.^[8] Er ei fod bellach yn cael ei ystyried yn ffugwyddoniaeth, roedd cred mewn arwyddocâd cyfriniol rhifau, a elwir yn rhifoleg, yn treiddio i feddwl hynafol a chanoloesol.^[10] Dylanwadodd rhifoleg yn fawr ar ddatblygiad mathemateg Gwlad Groeg, gan ysgogi ymchwilio i lawer o broblemau mewn theori rhif sy'n dal i fod o ddiddordeb heddiw.^[10] Yn ystod y 19g, dechreuodd mathemategwyr ddatblygu llawer o wahanol abstractions sy'n rhannu priodweddau penodol rhifau, ac efallai yn ehangu'r cysyniad. Ymhlith y cyntaf roedd y rhifau hypercomplex, sy'n cynnwys estyniadau neu addasiadau amrywiol i'r system rhifau cymhlyg. Mewn mathemateg fodern, mae systemau rhif (setiau) yn cael eu hystyried yn enghreifftiau arbennig o bwysig o gategorïau mwy cyffredinol fel modrwyau a maesydd, ac mae cymhwyso'r term "rhif" yn fater o gonfensiwn, heb arwyddocâd sylfaenol.^[11]

Y cyd-destun Celtaidd

Arferai'r Celtiaid gredu fod i'r rhif 3 hud a lledrith iddo ac y deuai a lwc dda i'r person. "Un frân ddu ddaw ag anlwc eto!" meddai'r hen gân werin. Ceir llawer o ganeuon "cyfri" yn y Gymraeg e.e. "Cyfri'r Geifr".

Ogam

Sgript a ddefnyddid o'r 4g hyd y 10g, i ysgrifennu Gwyddeleg yn bennaf, yw ogam, ac a welir heddiw ar gerrig ledled Iwerddon a rhannau o Gymru. Mae'r marciau a naddwyd ar y cerrig hyn, bob amser, mewn grwpiau o rhwng 1 a 5. Hawlia Macalister, Rudolf Thurneysen, Joseph Vendryes ac eraill bod ffurf y marciau (neu lythrennau) hyn yn tarddu o'r rhicbrennau a oedd yn bodoli yn y cyfnod hwnnw. Os yw hyn yn wir, yna mae'r system Ogam wedi'i ysbrydoli gan system gyfrif a oedd eisoes yn seiliedig ar y rhifau pump ac ugain, ac a addaswyd wedyn i ffurf yr wyddor gan y codwyr cyntaf. Pum bys sydd ar bob llaw, ac felly arferid sillafu llythrennau gair gyda'r bysedd.

Cymraeg

Ceir dau ddull o gyfri yn Gymraeg. Mae'r hen ddull, sef y dull clasurol, yn dal i gael ei ddefnyddio er nad cymaint ag yn y gorffennol, yn enwedig y rhifau uwch (dros 20) fel e.e. saith a phedwar ugain (87). Mae'r dull modern, fodd bynnag, yn haws ar gyfer mathemateg: wyth-deg-saith = 87 gan ei fod yn dilyn yr un drefn resymegol: miloedd, cannoedd, degau ac unedau, chwith i'r dde. Eto, defnyddir ambell enghraifft o'r dull clasurol ledled Cymru ym mhob maes e.e. deunaw = 18 (yn ogystal ag un-deg-wyth) a chlywir "saith bunt ar hugain" ac ati hefyd. Bellach (2010) mae'r dull modern "Emyn cant-wyth-deg-saith" wedi goddiweddu'r "Emyn cant a saith a phedwar ugain" traddodiadol ac ni ddysgir yr hen drefn o gyfrifo mewn ysgolion, eithr y dull modern gyda rhai termau o'r dull traddodiadol megis "deunaw" yn parhau. Mae'n arferol hefyd i ddefnyddio'r dull clasurol ar gyfer y canrifoedd, e.e. yr '20g' (20g), yr '16g' (16g).

Rhai geiriau Cymraeg am rifau

Un, dau, tri - 1, 2, 3
Un cant a dau-ddeg-tri - 123
Dwsin: 12
Ugain: 20
Hanner cant: 50
Kilo: 1,000

Mae'r idiom "Rhif y gwlith" yn golygu "llawer".

Hanes

Rhifolion

Dylid gwahaniaethu rhwng niferoedd a rhifolion, sef y symbolau a ddefnyddir i gynrychioli rhifau. Dyfeisiodd yr Eifftiaid y system o rifolion gyntaf, ac yna dilynodd y Groegiaid gan fapio eu rhifau i ddau wyddor: ïonig a Dorig.^[12] Arhosodd rhifolion Rhufeinig, system a ddefnyddiodd gyfuniadau o lythrennau o'r wyddor Rufeinig, y mwyaf poblogaidd drwy Ewrop nes i'r system rhifolion Hindwaidd-Arabeg gwell ledaenu tua diwedd y 14g, a hi yw'r system fwyaf cyffredin o hyd ar gyfer ei chynrychioli rhifau yn y byd heddiw. Yr allwedd i effeithiolrwydd y system oedd y symbol ar gyfer sero, a ddatblygwyd gan fathemategwyr hynafol India tua 500 OC.^[13]

Y defnydd cyntaf o rifau

Darganfuwyd esgyrn ac arteffactau eraill gyda marciau (rhiciau) wedi'u torri ynddynt y mae llawer yn credu sy'n farciau cyfrif.^[14] Efallai bod y marciau cyfrif hyn wedi'u defnyddio ar gyfer cyfri'r amser a aeth heibio: nifer y dyddiau, cylchoedd lleuad neu gadw cofnodion o niferoedd, megis anifeiliaid. Nid oes gan system uchod (y rhicbren) unrhyw gysyniad o werth lle (fel yn y nodiant degol modern), sy'n cyfyngu ar ei gynrychiolaeth o niferoedd mawr. Serch hynny, ystyrir mai systemau yma yw'r math cyntaf o system rifol haniaethol. Y system gyntaf y gwyddys amdani gyda gwerth lle oedd system bôn-60 (tua 3400 CC) a'r sylfaen gynharaf y gwyddys amdani. Mae system bôn-10 system yn dyddio i 3100 CC yn yr Aifft.^[15]

Sero

Dechreuodd pobl Olmec de Mecsico ddefnyddio symbol ar gyfer sero, glyff ar siap cregyn, o bosib erbyn y 4g ond yn sicr erbyn 40 CC, a ddaeth yn rhan annatod o rifolion Maya a chalendr Maya. Roedd rhifau yn defnyddio bôn-4 a bôn-5 wedi'i ysgrifennu fel bôn-20.^[16] Mae'r defnydd cyntaf hysbys o sero yn dyddio i OC 628, ac ymddangosodd yn y Brāhmasphuṭasiddhdhnnta, prif waith y mathemategydd Indiaidd Brahmagupta. Triniodd 0 fel nifer a thrafod gweithrediadau sy'n ymwneud ag ef, gan gynnwys rhannu. Erbyn hyn (y 7g) roedd y cysyniad yn amlwg wedi cyrraedd Cambodia fel rhifolion Khmer, ac mae dogfennaeth yn dangos y syniad yn ddiweddarach yn ymledu i Tsieina a'r byd Islamaidd.

Brāhmasphuṭasiddhānta gan Brahmagupta, felly, yw'r llyfr cyntaf sy'n crybwyll sero fel rhif, ac felly ystyrir mai Brahmagupta yw'r cyntaf i ffurfio'r cysyniad o sero. Rhoddodd reolau o ddefnyddio sero gyda rhifau negyddol a phositif, fel "sero a rhif positif yw rhif positif, a rhif negyddol ynghyd â sero yw'r rhif negyddol."

Rhifau negyddol

Cydnabuwyd y cysyniad haniaethol o rifau negyddol mor gynnar â 100-50 CC yn Tsieina. Mae'r Naw Pennod ar y Gelf Fathemategol yn cynnwys dulliau ar gyfer dod o hyd i arwynebedd rhifau; defnyddiwyd gwiail coch i ddynodi cyfernodau positif, du ar gyfer negyddol.^[17] Roedd y cyfeiriad cyntaf mewn gwaith Gorllewinol yn y 3g OC yng Ngwlad Groeg. Cyfeiriodd Diophantus at yr hafaliad sy'n cyfateb i 4x + 20 = 0 (mae'r hydoddiant yn negyddol) yn Arithmetica, gan fynnu bod yr hafaliad wedi rhoi canlyniad hurt. Yn ystod y 600au, roedd niferoedd negyddol yn cael eu defnyddio yn India i gynrychioli dyledion, yn union fel y gwneir heddiw. Trafodwyd hyn yn fwy penodol gan y mathemategydd Indiaidd Brahmagupta, yn Brāhmasphuṭasiddhānta yn 628, a ddefnyddiodd rifau negyddol i gynhyrchu'r fformiwla gwadratig ffurf gyffredinol sy'n parhau i gael ei defnyddio heddiw. Fodd bynnag, yn y 12g yn India, mae Bhaskara yn rhoi ail isradd negyddol ar gyfer hafaliadau cwadratig ond dywed nad yw'r gwerth negyddol "yn yr achos hwn i'w gymryd, oherwydd mae'n annigonol; nid yw pobl yn cymeradwyo bonion negyddol". Gwrthwynebodd mathemategwyr Ewropeaidd, ar y cyfan, y cysyniad o rifau negyddol tan yr 17g, er bod Fibonacci wedi caniatáu datrysiadau negyddol mewn problemau ariannol lle y gellid eu dehongli fel dyledion (pennod 13 o Liber Abaci, 1202) ac yn ddiweddarach fel colledion (yn Flos). Roedd René Descartes yn eu galw’n fonion ffug o fewn polynomialau algebraidd ond eto fe ddaeth o hyd i ffordd i gyfnewid gwir isradd ac israddau ffug hefyd. Ar yr un pryd, roedd y Tsieineaid yn nodi rhifau negyddol trwy dynnu strôc groeslinol trwy'r digid cywir-mwyaf nad yw'n sero y rhif positif cyfatebol.^[18] Y defnydd cyntaf o rifau negyddol drwy Ewrop oedd hwnnw gan Nicolas Chuquet yn ystod y 15g. Fe'u defnyddiodd fel esbonwyr, ond cyfeiriodd yntau atynt fel "rhifau hurt". Mor ddiweddar â'r 18g, roedd yn arfer cyffredin yn Lloegr i anwybyddu unrhyw ganlyniadau negyddol a ddychwelwyd gan hafaliadau gan dybio eu bod yn ddiystyr.

Rhifau rhesymegol

Unrhyw rif y gellir ei fynegi fel cyniferydd (quotient) neu'r ffracsiwn $p / q$ o ddau cyfanrif, rhifiadur (numerator) $p$ ac enwadur (denominator) di-sero $q$ yw rhifau rhesymegol. Gan fod $q$ yn gyfwerth ag 1, mae pob cyfanrif yn rhif cymarebol. Mae'r set o bob rhif cymarebol, y cyfeirir ato yn aml fel "y cymarebau" neu "y maes cymarebol" fel arfer yn cael ei ddynodi gan $Q$ mewn ffont fras (neu $\mathbb {Q}$ ); dynodwyd hyn yn 1895 gan Giuseppe Peano yn dalfyriad neu symbol o'r gair Eidaleg Quoziente, am 'gyniferydd'.^[19] Mae ehangu degol rhif cymarebol bob amser yn dod i ben ar ôl nifer gyfyngedig o ddigidau neu yn dechrau ailadrodd yr un dilyniant y digidol yn ddi-dor. At hynny, mae unrhyw ddegolyn sy'n ailadrodd neu ar y diwedd yn cynrychioli rhif cymarebol. Mae'r datganiadau hyn yn dal yn wir nid yn unig ar gyfer sylfaen 10, ond hefyd ar gyfer unrhyw sylfaen o gyfanrifau e.e. system ddeuaidd, a'r system hecsadegol).^[19]^[20] Mae rhif real nad yw'n gymarebol yn cael ei alw rhif anghymarebol ac maent yn cynnwys $\sqrt 2$ , $π$ , $e$ , a $φ$ . Felly'r gwrthwyneb i rif cymarebol yw rhif anghymarebol, ac ni ellir eu mynegi fel ffracsiwn. Mae ehangu degol rhif anymarferol yn parhau heb ailadrodd.

Rhifau afresymol

Mae'r rhifau anghymarebol (Irrational number) yn cynnwys yr holl rifau real nad ydynt yn rifau cymarebol. Rhif anghymarebol, felly, yw gwrthwyneb rhif cymarebol. Rhif cymarebol yw'r rhifau a grëwyd o gymarebau (neu ffracsiynau) o gyfanrifau (integers). Pan fo'r gymhareb o hyd segment dwy linell yn rhif anghymarebol, disgrifir segmentau'r linell fel rhywbeth anghymesur, gan olygu nad oes dim yn gyffredin rhyngddynt o ran 'mesur'; nid oes hyd ("y mesur") y gellid ei ddefnyddio i fynegi hyd y ddau segment a roddwyd fel lluosrifau cyfanrif (integer multiples) ohono'i hun. Ymhlith y rhifau anghymarebol mae:

cymhareb $π$ o gylchedd cylch at ei diamedr,
rhif Euler,
y gymhareb aur φ
ail isradd 2
pob ail isradd o rifau naturiol, ar wahân i sgwariau perffaith.^[21]^[22]^[23]

Gellir dangos nad yw rhifau anghymarebol, pan fynegir eu bod mewn system rifol e.e. fel rhif degol, neu fathau naturiol eraill, yn dod i ben, nac yn ailadrodd, hy, ddim yn cynnwys dilyniant o ddigidau. Er enghraifft, mae cynrychiolaeth degol y rhif $π$ yn dechrau gyda 3.14159, ond ni all unrhyw nifer meidraidd o ddigidiau gynrychioli $π$ yn union, ac nid yw'n ailadrodd. ^[24] Mae'r cysyniad cynharaf hysbys o anfeidredd mathemategol yn ymddangos yn yr Yajur Veda, sgript hynafol Indiaidd, sy'n nodi, "Os ydych chi'n tynnu rhan o anfeidredd neu'n ychwanegu rhan at anfeidredd, yr hyn sy'n weddill yw anfeidredd." Roedd anfeidredd yn bwnc poblogaidd o astudiaeth athronyddol ymhlith mathemategwyr Jain c. 400 CC. Roeddent yn gwahaniaethu rhwng pum math o anfeidredd: anfeidrol i un a dau gyfeiriad, yn anfeidrol o ran ardal, yn anfeidrol ym mhobman, ac yn anfeidrol yn barhaus. Defnyddiwyd y symbol ${\text{∞}}$ yn aml i gynrychioli maint anfeidrol. Mae anfeidredd yn gysyniad sy'n cyfleu rhif sy'n rhy fawr i fedru ei gyfri. Ysgrifennir yr anfeidredd gyda'r symbol $\infty$ . Fe'i defnyddir yn aml o fewn calcwlws a theori setiau, ac fe'i defnyddir hefyd mewn ffiseg a gwyddoniaethau eraill. Mae 'setiau anfeidraidd' yn rhan o'r maes hwn. Yr hyn sy'n groes i anfeidredd o fewn mathemateg yw 'meidraidd' e.e. rhifau naturiol a rhifau real. Ffurfiodd Georg Cantor lawer o gysyniadau yn ymwneud ag anfeidredd a setiau anfeidraidd yn ystod diwedd y 19g a dechrau'r 20g. Yn y theori a ddatblygodd, mae setiau anfedraidd o wahanol feintiau (o'r enw prifoledd neu cardinalities).^[25] Diffiniodd Aristotle y syniad Gorllewinol traddodiadol o anfeidredd mathemategol. Roedd yn gwahaniaethu rhwng anfeidredd gwirioneddol ac anfeidredd posibl - y consensws cyffredinol oedd mai dim ond yr olaf oedd â gwir werth. Trafododd Dau Wyddoniaeth Newydd Galileo Galilei y syniad o ohebiaeth un i un rhwng setiau anfeidrol. Ond gwnaed y cynnydd mawr nesaf yn y theori gan Georg Cantor ym 1895 pan gyhoeddodd lyfr am ei ddamcaniaeth setiau newydd, gan gyflwyno, ymhlith pethau eraill, rifau trawsffiniol a llunio'r rhagdybiaeth continwwm.

Rhifau cymhlyg

Y cyfeiriad cyntaf at ail isradd rhifau negyddol yng ngwaith y mathemategydd a'r dyfeisiwr Heron o Alexandria yn ganrif gyntaf, pan ystyriodd gyfaint y pyramid. Daethant yn fwy amlwg pan yn yr 16eg Darganfuwyd fformwlâu caeedig y ganrif ar gyfer gwreiddiau polynomialau'r drydedd a'r bedwaredd radd gan fathemategwyr Eidalaidd fel Niccolò Fontana Tartaglia a Gerolamo Cardano . Sylweddolwyd yn fuan fod y fformwlâu hyn, hyd yn oed os oedd gan un ddiddordeb mewn datrysiadau go iawn yn unig, weithiau'n gofyn am drin gwreiddiau sgwâr o rifau negyddol. Roedd hyn yn anodd ei dderbyn gan nad oeddent hyd yn oed yn ystyried bod niferoedd negyddol yn bosib, ar y pryd. Pan fathodd René Descartes y term "dychmygol" ar gyfer y meintiau hyn yn 1637, fe'i bwriadodd fel term dirmygus. (Gweler yr erthygl ar y rhif dychmygol am drafodaeth ar "realiti" rhifau cymhleth.) Ffynhonnell arall o ddryswch oedd bod yr hafaliad

\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1

a oedd yn ymddangos yn anghyson â:

{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},

sy'n ddilys ar gyfer rhifau real positif a a b, ac a ddefnyddiwyd hefyd mewn cyfrifiadau rhif cymhlyg gydag un a, b positif a'r llall yn negydd. Y defnydd anghywir o'r unfathiant (identity) hwn, a'r unfathiant gysylltiedig

{\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}

yn yr achos pan fydd a a b yn negatif, ac roedd hyn yn ddryswch hyd yn oed i Euler! Yn y pen draw, arweiniodd y dryswch hwn at y confensiwn o ddefnyddio'r symbol arbennig i yn lle ${\sqrt {-1}}$ i warchod rhag y camgymeriad hwn. Yn y 18g cafwyd gwaith pellach gan Abraham de Moivre a Leonhard Euler. Mae fformiwla De Moivre (1730) yn nodi:

(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta

tra roddodd fformiwla dadansoddi cymhyg Euler (1748) i ni:

\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.

Ni dderbyniwyd bodolaeth rhifau cymhlyg yn llwyr nes i Caspar Wessel ddisgrifio'r dehongliad geometregol ym 1799. Ailddarganfyddodd Carl Friedrich Gauss y cysyniad, a'i boblogeiddio sawl blwyddyn yn ddiweddarach, ac o ganlyniad cafodd theori niferoedd cymhlyg ei ehangu'n sylweddol. Fodd bynnag, roedd y syniad o gynrychiolaeth graffig rhifau cymhlyg wedi ymddangos mor gynnar â 1685, yn tractatus De algebra Wallis. Hefyd ym 1799, darparodd Gauss y prawf cyntaf a dderbynniwyd, yn gyffredinol o theorem sylfaenol algebra, gan ddangos bod gan bob polynomial dros y niferoedd cymhlyg set lawn o atebion yn y deyrnas honno. Mae derbyniad cyffredinol theori rhifau cymhlyg i'w briodoli i waith Augustin Louis Cauchy a Niels Henrik Abel, yn enwedig yr olaf, a oedd y cyntaf i ddefnyddio rhifau cymhlyg yn eofn, gyda llwyddiant. Astudiodd Gauss rifau cymhlyg y ffurf a + bi, lle mae a a b yn integral, neu'n rhesymol (ac i yw un o ddau wreiddyn x² + 1 = 0). Astudiodd ei fyfyriwr, Gotthold Eisenstein, y math a + bω, lle mae ω yn wreiddyn cymhlyg o x³ − 1 = 0. Mae dosbarthiadau eraill o'r fath (a elwir yn feysydd seicotomig) o rifau cymhlyg yn deillio o roots of unity x^k − 1 = 0 ar gyfer gwerthoedd uwch o k. Mae'r cyffredinoli hwn yn bennaf oherwydd Ernst Kummer, a ddyfeisiodd rifau delfrydol hefyd, ac fynegwyd fel endidau geometregol gan Felix Klein ym 1893.

Rhifau cysefin

Astudiwyd rhifau cysefin trwy gydol y hanes. Neilltuodd Euclid un llyfr o'r Elfennau i theori rhifau cysefin; ynddo profodd anfeidredd y rhifau cysefin a theorem sylfaenol rhifyddeg, a chyflwynodd yr algorithm Ewclidaidd ar gyfer dod o hyd i'r rhannwr cyffredin mwyaf o ddau rif. Yn 240 CC, defnyddiodd Eratosthenes 'Rhidyll Eratosthenes' i ynysu rhifau cysefin yn gyflym. Ond mae'r rhan fwyaf o ddatblygiad pellach o theori rhifau cysefin yn Ewrop yn dyddio i'r Dadeni a chyfnodau diweddarach. Ym 1796, creodd Adrien-Marie Legendre y theorem rhif cysefin, gan ddisgrifio dosbarthiad asymptotig rhifau cysefin. Mae canlyniadau eraill sy'n ymwneud â dosbarthiad rhifau cysefin yn cynnwys prawf Euler bod swm cilyddol y cysefin yn dargyfeirio, a rhagdybiaeth Goldbach, sy'n honni bod unrhyw eilrif digon mawr yn gyfanswm o ddau rif cysefin. Rhagdybiaeth arall eto sy'n ymwneud â dosbarthiad rhifau cysefin yw rhagdybiaeth Riemann, a luniwyd gan Bernhard Riemann ym 1859. Profwyd y theorem rhif cysefin o'r diwedd gan Jacques Hadamard a Charles de la Vallée-Poussin ym 1896. Mae dyfaliadau Goldbach a Riemann yn parhau i fod heb eu profi.

Prif ddosbarthiad

Gellir dosbarthu rhifau yn setiau, a elwir yn systemau rhif, fel y rhifau naturiol a'r rhifau real. Mae'r prif gategorïau rhifau fel a ganlyn: Yn gyffredinol nid oes unrhyw broblem wrth nodi pob system rif gydag is-set gywir o'r un nesaf (trwy gam-drin nodiant), oherwydd mae pob un o'r systemau rhif hyn yn ganonaidd isomorffig i is-set gywir o'r un nesaf. Mae'r hierarchaeth sy'n deillio o hyn yn caniatáu, er enghraifft, siarad, yn ffurfiol gywir, am rifau real sy'n rhifau rhesymegol, ac fe'i mynegir yn symbolaidd trwy ysgrifennu

\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}

.

Rhifau naturiol

Y rhifau mwyaf cyfarwydd yw'r rhifau naturiol (a elwir weithiau'n rhifau cyfan neu'n rhifau cyfrif): 1, 2, 3, 4, ac ati. Yn draddodiadol, cychwynnodd dilyniant y rhifau naturiol 1 (ni ystyriwyd 0 hyd yn oed yn rhif gan yr Hen Roegiaid.) Fodd bynnag, yn y 19g, dechreuodd damcaniaethwyr set a mathemategwyr eraill gynnwys 0.^[26] Heddiw, mae gwahanol fathemategwyr yn defnyddio'r term i ddisgrifio'r ddwy set, gan gynnwys 0 ai peidio. Y symbol mathemategol ar gyfer y set o bob rhif naturiol yw N, hefyd wedi'i ysgrifennu $\mathbb {N}$ , ac weithiau $\mathbb {N} _{0}$ neu $\mathbb {N} _{1}$ pan fydd angen nodi a ddylai'r set ddechrau gyda 0 neu 1, yn y drefn honno. Yn y system degol, a ddefnyddir bron yn drwy'r byd, heddiw ar gyfer gweithrediadau mathemategol, ysgrifennir y symbolau ar gyfer rhifau naturiol gan ddefnyddio deg digid: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, a 9. Y radix neu'r b ôn yw nifer y digidau rhifiadol unigryw, gan gynnwys sero, y mae system rifol yn eu defnyddio i gynrychioli rhifau (ar gyfer y system degol, y radix yw 10). Yn y system bôn 10, mae gan y digid mwyaf cywir o rif naturiol werth lle o 1, ac mae gan bob digid arall werth lle ddeg gwaith gwerth lle y digid ar y dde. Mewn theori set, sy'n gallu gweithredu fel sylfaen axiomatig ar gyfer mathemateg fodern,^[27] gellir cynrychioli rhifau naturiol gan ddosbarthiadau o setiau cyfatebol. Er enghraifft, gellir cynrychioli'r rhif 3 fel dosbarth o'r holl setiau sydd â thair elfen yn union. Fel arall, yn Peano Rhifyddeg, cynrychiolir y rhif 3 fel sss0, lle s yw'r swyddogaeth "olynydd" (h.y., 3 yw trydydd olynydd 0).

Cyfanrifau

Diffinnir negydd cyfanrif positif fel rhif sy'n cynhyrchu 0 pan ychwanegir ef at y cyfanrif positif cyfatebol. Mae rhifau negyddol fel arfer yn cael eu hysgrifennu gydag arwydd negyddol (arwydd minws). Er enghraifft, mae negydd 7 yn cael ei ysgrifennu fel −7, a 7 + (−7) = 0. Pan gyfunir y set o rifau negyddol â'r set o rifau naturiol (gan gynnwys 0), diffinnir y canlyniad fel y set o gyfanrifau, Z. Yma, mae'r llythyren Z yn dod o'r Almaeneg Zahl, sef 'rhif'. Mae'r set o gyfanrifau'n ffurfio cylch gyda'r gweithrediadau: adio a lluosi.^[28] Mewn mathemateg, mae cyfanrifau yn rhifau cyfan (nid ffracsiynau) o set o rifau naturiol a rhifau negatif:

... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Mae 21, 4, 0, a −2048 felly, yn gyfanrifau, ond nid felly 9.75, 5 1/2, na $\sqrt 2$ . Dynodir cyfanrifau, fel arfer, gan Z (" $Z$ ") trwm neu $\mathbb {Z}$ (Unicode U+2124 ℤ) sy'n tarddu o'r gair Almaeneg Zahlen ([ˈtsaːlən], "rhif").^[29]^[30] Mewn geiriau eraill, mae $Z$ yn is-set o bob rhif cymarebol $Q$ , sydd yn ei dro'n is-set o'r rhifau real $R$ . Fel y rhifau naturiol, mae'r cyfanrifau $Z$ yn anfeidraidd.

Rhifau cymarebol

Rhifau cymarebol yw unrhyw rif y gellir ei fynegi fel cyniferydd (quotient) neu'r ffracsiwn $p / q$ o ddau cyfanrif, rhifiadur (numerator) $p$ ac enwadur (denominator) di-sero $q$ . Gan fod $q$ yn gyfwerth ag 1, mae pob cyfanrif yn rhif cymarebol. Mae'r set o bob rhif cymarebol, y cyfeirir ato yn aml fel "y cymarebau" neu "y maes cymarebol" fel arfer yn cael ei ddynodi gan $Q$ mewn ffont fras (neu $\mathbb {Q}$ ); dynodwyd hyn yn 1895 gan Giuseppe Peano yn dalfyriad neu symbol o'r gair Eidaleg Quoziente, am 'gyniferydd'.^[19] Mae ehangu degol rhif cymarebol bob amser yn dod i ben ar ôl nifer gyfyngedig o ddigidau neu yn dechrau ailadrodd yr un dilyniant y digidol yn ddi-dor. At hynny, mae unrhyw ddegolyn sy'n ailadrodd neu ar y diwedd yn cynrychioli rhif cymarebol. Mae'r datganiadau hyn yn dal yn wir nid yn unig ar gyfer sylfaen 10, ond hefyd ar gyfer unrhyw sylfaen o gyfanrifau e.e. system ddeuaidd, a'r system hecsadegol).^[19]^[20]

Rhifau real

Mae rhif real^[31] yn werth di-dor (neu ddiddiwedd) o faint, a all gynrychioli pellter ar hyd llinell. Cyflwynwyd yr ansoddair 'real' yn y cyd-destun hwn yn y 17g gan René Descartes, a oedd yn gwahaniaethu rhwng gwreiddiau real a dychmygol polynomials. Mae'r rhifau real yn cynnwys yr holl rifau rhesymegol, megis y cyfanrif -5 a'r ffracsiwn 4/3, a'r holl rifau afresymol, megis √2 (1.41421356 ..., ail isradd 2, rhif algebraidd afresymol). Mae'r rhifau afresymol yn cynnwys y rhifau trosgynnol, fel $π$ (3.14159265 ...). Yn ogystal â mesur pellter, gellir defnyddio rhifau real i fesur meintiau megis amser, màs, egni, cyflymder, a llawer mwy. Gellir ystyried y rhifau real fel pwyntiau ar linell diddiwedd hir o'r enw llinell rif neu linell real, lle mae'r pwyntiau sy'n cyfateb i gyfanrif yr un pellter oddi wrth ei gilydd. Gellir penderfynu ar unrhyw rif real drwy gynrychiolaeth degol, diddiwedd, fel 8.632, lle caiff pob digid olynol ei fesur mewn unedau un degfed maint yr un blaenorol. Gellir ystyried y llinell real fel rhan o'r haen gymhleth, ac mae rhifau cymhlyg yn cynnwys rhifau real.

Rhifau cymhlyg

Rhif cymhlyg yw'r rhif y gellir ei fynegi fel $a + bi$ , lle mae $a$ a $b$ yn rhifau real, ac mae $i$ yn ateb i'r hafaliad $x 2 = -1$ . Gan nad oes unrhyw rif real yn bodloni'r hafaliad hwn, gelwir $i$ yn "rhif dychmygol". Ar gyfer y rhif cymhlyg $a + bi$ , gelwir $a$ yn "rhan real", a gelwir $b$ yn "rhan ddychmygol". Er gwaethaf yr ystyr arferol i'r gair "dychmygol", ystyrir rhifau cymhlyg yn y gwyddorau mathemategol yn "gwbwl real", fel rhifau real, ac maent yn sylfaenol mewn sawl agwedd o'r disgrifiad gwyddonol o'r byd naturiol.^[32]^[33] Gellir diffinio'r system rhif cymhlyg fel estyniad algebraidd o'r rhifau real cyffredin trwy rif dychmygol $i$ .^[34] Mae hyn yn golygu y gellir ychwanegu, tynnu a lluosi rhifau cymhlyg, fel polynomialau yn y newidyn i, gyda'r rheol $i 2 = -1$ wedi'i osod. At hynny, gellir rhannu rhifau cymhlyg hefyd gyda rhifau cymhlyg di-sero. Ar y cyfan, mae'r system rhif cymhlyg yn faes o fewn mathemateg. Mae rhifau cymhlyg yn arwain at theorem sylfaenol algebra: mae gan bob hafaliad polynomial nad yw'n gyson â chyfernodau (neu 'gyd-berthynas'; coefficients) ateb cymhleth. Mae'r nodwedd hon yn wir am y rhifau cymhlyg, ond nid y rhifau real. Credir bod y mathemategydd Eidalaidd o'r 16g, Gerolamo Cardano, wedi cyflwyno rhifau cymhlyg yn ei ymdrechion i ddod o hyd i atebion i hafaliadau ciwbig.^[35]

Isddosbarthiadau o'r cyfanrifau

Eilrifau ac odrifau

Mae Eilrif yn gyfanrif y gellir ei rannu'n gyfartal gyda dau, hy sy'n rhanadwy gan ddau heb adael gweddill. mae odrif yn gyfanrif nad yw'n eilrif. (Erbyn hyn, mae'r term hen-ffasiwn "cyfartal rhanadwy" ("evenly divisible") bron bob amser yn cael ei fyrhau i "rhanadwy". Gellir llunio unrhyw odrif n yn ôl y fformiwla n = 2k + 1, ar gyfer cyfanrif addas k. Gan ddechrau gyda k = 0, yr odrifau an-negyddol cyntaf yw {1, 3, 5, 7,. . }. Mae gan unrhyw eilrif m y ffurf m = 2k lle mae k eto'n gyfanrif. Yn yr un modd, yr eilrifau an-negyddol cyntaf yw {0, 2, 4, 6,. . }.

Rhifau cysefin

Mae rhif cysefin, sy'n aml yn cael ei fyrhau i ddim ond 'cysefin', yn gyfanrif sy'n fwy nag 1 nad yw'n gynnyrch dau gyfanrif positif llai. Y rhifau cyntaf yw 2, 3, 5, 7 ac 11. Nid oes fformiwla mor syml ag ar gyfer odrifau ac eilrifau i gynhyrchu'r rhifau cysefin. Astudiwyd y cyfnodau yn eang am fwy na 2000 o flynyddoedd ac maent wedi arwain at lawer o gwestiynau, a dim ond rhai ohonynt wedi'u hateb. Mae astudio'r cwestiynau hyn yn perthyn i theori rhif. Mae rhagdybiaeth Goldbach yn enghraifft o gwestiwn sydd heb ei ateb o hyd: "A yw pob eilrif yn gyfanswm o ddau gysefin?" Cadarnhawyd un cwestiwn a atebwyd, ynghylch a yw pob cyfanrif sy'n fwy nag un yn gynnyrch rhifau cysefin mewn un ffordd yn unig, ac eithrio aildrefnu'r rhifau cysefin; gelwir yr honiad profedig hwn yn theorem sylfaenol rhifyddeg. Mae prawf yn ymddangos yn Elfennau Euclid.

Isddosbarthiadau o'r niferoedd cymhlyg

Rhifau algebraidd, afresymol a throsgynnol

Rhifau algebraidd yw'r rhai sy'n ddatrysiad i hafaliad polynomial â chyfernodau cyfanrif. Gelwir rhifau real nad ydynt yn rhifau rhesymegol yn rhifau anghymarebol. Gelwir rhifau cymhlyg nad ydynt yn algebraidd yn rhifau trosgynnol. Gelwir y rhifau algebraidd sy'n hydoddiannau hafaliad polynomial monig â chyfernodau cyfanrif yn gyfanrifau algebraidd.

Gweler hefyd

Rhifyddeg
Rhif atomig
Rhif cymarebol: (rational number) rhif y gellir ei fynegi fel cwotient a/b dau gyfanrif, heb i'r enwadur fod yn hafal i sero.
Rhif cysefin
Rhif màs
Rhif naturiol
Rhif Avogadro

Cyfeiriadau

↑ "number, n." (yn en-GB). OED Online (Oxford University Press). http://www.oed.com/view/Entry/129082. Adalwyd 2017-05-16.
↑ "numeral, adj. and n.". OED Online (Oxford University Press). http://www.oed.com/view/Entry/129111.
↑ In linguistics, a numeral can refer to a symbol like 5, but also to a word or a phrase that names a number, like "five hundred"; numerals include also other words representing numbers, like "dozen".
↑ Matson, John. "The Origin of Zero". Scientific American (yn Saesneg). Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2017-08-26. Cyrchwyd 2017-05-16.
↑ ^5.0 ^5.1 Hodgkin, Luke (2005-06-02). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity (yn Saesneg). OUP Oxford. tt. 85–88. ISBN 978-0-19-152383-0. Cyrchwyd 2017-05-16.
↑ T.K. Puttaswamy (2000), Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, eds., [The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics], Springer, pp. 410–11, ISBN 1-4020-0260-2, The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians.
↑ Descartes, René (1954), La Géométrie | The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition, Dover Publications, ISBN 0-486-60068-8, https://archive.org/details/geometryofrenede00rend, adalwyd 20 April 2011
↑ ^8.0 ^8.1 Gilsdorf, Thomas E. Introduction to Cultural Mathematics: With Case Studies in the Otomies and Incas, John Wiley & Sons, Feb 24, 2012.
↑ Restivo, S. Mathematics in Society and History, Springer Science & Business Media, Nov 30, 1992.
↑ ^10.0 ^10.1 Ore, Oystein. Number Theory and Its History, Courier Dover Publications.
↑ Gouvea, Fernando Q. The Princeton Companion to Mathematics, Chapter II.1, "The Origins of Modern Mathematics"(Princeton University Press, 2008), p. 82. ISBN 978-0-691-11880-2.
↑ Chrisomalis, Stephen (2003-09-01). "The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals". Antiquity 77 (297): 485–96. doi:10.1017/S0003598X00092541. ISSN 0003-598X. https://archive.org/details/sim_antiquity_2003-09_77_297/page/485.
↑ Gwall cyfeirio: Tag <ref> annilys; ni roddwyd testun ar gyfer 'ref' o'r enw Cengage Learning2
↑ Marshak, A., The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation, (Weidenfeld & Nicolson, London: 1972), 81ff.
↑ "Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora". Math.buffalo.edu. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2015-04-07. Cyrchwyd 2012-01-30.
↑ Sánchez, George I. (1961). Arithmetic in Maya. Austin, Texas: self published.
↑ Staszkow, Ronald; Robert Bradshaw (2004). The Mathematical Palette (3rd ed.). Brooks Cole. t. 41. ISBN 0-534-40365-4.
↑ Smith, David Eugene (1958). History of Modern Mathematics. Dover Publications. t. 259. ISBN 0-486-20429-4.
↑ ^19.0 ^19.1 ^19.2 ^19.3 Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (arg. 6th). New York, NY: McGraw-Hill. tt. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
↑ ^20.0 ^20.1 Rouse, Margaret. "Mathematical Symbols". Cyrchwyd 1 April 2015.
↑ The 15 Most Famous Transcendental Numbers. by Clifford A. Pickover. URL retrieved 24 Hydref 2007.
↑ http://www.mathsisfun.com/irrational-numbers.html; URL retrieved 24 Hydref 2007.
↑ Weisstein, Eric W. "Irrational Number". MathWorld. URL retrieved 26 Hydref 2007.
↑ Bernard Frischer (1984). "Horace and the Monuments: A New Interpretation of the Archytas Ode". In D.R. Shackleton Bailey (gol.). Harvard Studies in Classical Philology. Harvard University Press. t. 83. ISBN 0-674-37935-7.
↑ Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. t. 616. ISBN 0-691-11880-9. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2016-06-03. Unknown parameter |deadurl= ignored (help) Tud. 616 Archifwyd 2016-05-01 yn y Peiriant Wayback
↑ "natural number", Merriam-Webster.com (Merriam-Webster), http://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number, adalwyd 4 Hydref 2014
↑ Suppes, Patrick (1972). Axiomatic Set Theory. Courier Dover Publications. t. 1. ISBN 0-486-61630-4.
↑ Weisstein, Eric W. "Integer". MathWorld.
↑ Miller, Jeff (2010-08-29). "Earliest Uses of Symbols of Number Theory". Cyrchwyd 2010-09-20.
↑ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. t. 4. ISBN 978-0-19-850195-4.
↑ geiriadur.bangor.ac.uk; adalwyd 19 Awst 2018.
↑ Gweler: Nicolas Bourbaki, "1. Foundations of mathematics; logic; set theory", Elements of the history of mathematics, Springer, pp. 18–24.
↑ Penrose, Roger (2016). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe (arg. reprinted). Random House. tt. 72–73. ISBN 978-1-4464-1820-8. tud. 73: "complex numbers, as much as reals, and perhaps even more, find a unity with nature that is truly remarkable. It is as though Nature herself is as impressed by the scope and consistency of the complex-number system as we are ourselves, and has entrusted to these numbers the precise operations of her world at its minutest scales."
↑ Nicolas Bourbaki (1988). "VIII.1". General topology. Springer-Verlag.
↑ Burton (1995, p. 294)

[1] "number, n." (yn en-GB). OED Online (Oxford University Press). http://www.oed.com/view/Entry/129082. Adalwyd 2017-05-16.

[2] "numeral, adj. and n.". OED Online (Oxford University Press). http://www.oed.com/view/Entry/129111.

[3] In linguistics, a numeral can refer to a symbol like 5, but also to a word or a phrase that names a number, like "five hundred"; numerals include also other words representing numbers, like "dozen".

[4] Matson, John. "The Origin of Zero". Scientific American (yn Saesneg). Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2017-08-26. Cyrchwyd 2017-05-16.

[:0-5] 5.0 ^5.1 Hodgkin, Luke (2005-06-02). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity (yn Saesneg). OUP Oxford. tt. 85–88. ISBN 978-0-19-152383-0. Cyrchwyd 2017-05-16.

[6] T.K. Puttaswamy (2000), Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, eds., [The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics], Springer, pp. 410–11, ISBN 1-4020-0260-2, The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians.

[7] Descartes, René (1954), La Géométrie | The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition, Dover Publications, ISBN 0-486-60068-8, https://archive.org/details/geometryofrenede00rend, adalwyd 20 April 2011

[Gilsdorf-8] 8.0 ^8.1 Gilsdorf, Thomas E. Introduction to Cultural Mathematics: With Case Studies in the Otomies and Incas, John Wiley & Sons, Feb 24, 2012.

[Restivo-9] Restivo, S. Mathematics in Society and History, Springer Science & Business Media, Nov 30, 1992.

[Ore-10] 10.0 ^10.1 Ore, Oystein. Number Theory and Its History, Courier Dover Publications.

[11] Gouvea, Fernando Q. The Princeton Companion to Mathematics, Chapter II.1, "The Origins of Modern Mathematics"(Princeton University Press, 2008), p. 82. ISBN 978-0-691-11880-2.

[12] Chrisomalis, Stephen (2003-09-01). "The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals". Antiquity 77 (297): 485–96. doi:10.1017/S0003598X00092541. ISSN 0003-598X. https://archive.org/details/sim_antiquity_2003-09_77_297/page/485.

[Cengage_Learning2-13] Gwall cyfeirio: Tag <ref> annilys; ni roddwyd testun ar gyfer 'ref' o'r enw Cengage Learning2

[14] Marshak, A., The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation, (Weidenfeld & Nicolson, London: 1972), 81ff.

[15] "Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora". Math.buffalo.edu. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2015-04-07. Cyrchwyd 2012-01-30.

[16] Sánchez, George I. (1961). Arithmetic in Maya. Austin, Texas: self published.

[17] Staszkow, Ronald; Robert Bradshaw (2004). The Mathematical Palette (3rd ed.). Brooks Cole. t. 41. ISBN 0-534-40365-4.

[18] Smith, David Eugene (1958). History of Modern Mathematics. Dover Publications. t. 259. ISBN 0-486-20429-4.

[Rosen2-19] 19.0 ^19.1 ^19.2 ^19.3 Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (arg. 6th). New York, NY: McGraw-Hill. tt. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.

[Mathematical_Symbols-20] 20.0 ^20.1 Rouse, Margaret. "Mathematical Symbols". Cyrchwyd 1 April 2015.

[21] The 15 Most Famous Transcendental Numbers. by Clifford A. Pickover. URL retrieved 24 Hydref 2007.

[22] ttp://www.mathsisfun.com/irrational-numbers.html; URL retrieved 24 Hydref 2007.

[23] Weisstein, Eric W. "Irrational Number". MathWorld. URL retrieved 26 Hydref 2007.

[24] Bernard Frischer (1984). "Horace and the Monuments: A New Interpretation of the Archytas Ode". In D.R. Shackleton Bailey (gol.). Harvard Studies in Classical Philology. Harvard University Press. t. 83. ISBN 0-674-37935-7.

[25] Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. t. 616. ISBN 0-691-11880-9. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2016-06-03. Unknown parameter |deadurl= ignored (help) Tud. 616 Archifwyd 2016-05-01 yn y Peiriant Wayback

[26] "natural number", Merriam-Webster.com (Merriam-Webster), http://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number, adalwyd 4 Hydref 2014

[27] Suppes, Patrick (1972). Axiomatic Set Theory. Courier Dover Publications. t. 1. ISBN 0-486-61630-4.

[28] Weisstein, Eric W. "Integer". MathWorld.

[29] Miller, Jeff (2010-08-29). "Earliest Uses of Symbols of Number Theory". Cyrchwyd 2010-09-20.

[Cameron1998-30] Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. t. 4. ISBN 978-0-19-850195-4.

[31] riadur.bangor.ac.uk; adalwyd 19 Awst 2018.

[32] Gweler: Nicolas Bourbaki, "1. Foundations of mathematics; logic; set theory", Elements of the history of mathematics, Springer, pp. 18–24.

[33] Penrose, Roger (2016). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe (arg. reprinted). Random House. tt. 72–73. ISBN 978-1-4464-1820-8. tud. 73: "complex numbers, as much as reals, and perhaps even more, find a unity with nature that is truly remarkable. It is as though Nature herself is as impressed by the scope and consistency of the complex-number system as we are ourselves, and has entrusted to these numbers the precise operations of her world at its minutest scales."

[34] Nicolas Bourbaki (1988). "VIII.1". General topology. Springer-Verlag.

[35] Burton (1995, p. 294)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]