虚数とは (キョスウとは) [単語記事]

虚数とは、

実数でない複素数のこと。
二乗して0未満の実数になる数のこと。純虚数とも呼ぶ。

本稿では1.について述べる。

概要

1545年にイタリアの数学者であるジェロラモ･カルダーノが、3次方程式の解法を示すために初めて導入する。1572年には、同じくイタリアの数学者であるラファエル・ボンベリが、数学的な定義をした上で諸問題を整備した。

発案された当時は、まだ世間では負の数やゼロでさえ実在しない数として扱われていたため、実在しない数の平方根を要素に含む虚数は、輪を掛けてありえない数であった。この「ありえない数」に「虚数(imagin ary number)」という名前を与えたのはルネ・デカルトであるが、デカルト自身は虚数を否定的に捉えていたようである。いずれにせよ、「ありえない数」「実在しない数」という感覚が篭っているネーミングである。

なお、この時代(ルネサンス期)に小数点による小数表記及び対数がジョン・ネイピアにより発明されている。

その後レオンハルト・オイラーにより幾何学と虚数の間に橋渡しがなされ、カール･フリードリヒ･ガウスにより複素数平面(ガウス平面)が提案されると、幾何学的な問題を代数学的に扱うためのツールとして脚光を浴びることとなった。オイラーの功績については「虚数単位」の項が詳しいので、別途参照して欲しい。

現代においては、電磁気学や量子力学といった物理学分野や、信号処理や制御理論といった工学分野で当たり前のように用いられている。

数学的な定義と基本演算

複素数zを、以下のように定義する。

z = a + bi (a,bは実数　iは虚数単位)
i² = -1

このうちb≠0のものが虚数である。

ガウス平面においてはx座標にa、y座標にbをプロットすることでzを二次元上の点として扱う。またガウス平面状では、原点とzを結ぶ直線とy軸の成す角をθとするとき、以下が成り立つ。

z = a + bi = √(a²+b²)×(cos θ+isin θ)
√(a²+b²) をzの絶対値と呼び、|z|と表記する

また、四則演算(特に乗除)はこのようになる。

z = a + bi = r(cosθ+isinθ) , w = c + di = s(cosφ+isinφ)
- r = √(a²+b²) , s = √(c²+d²)
z + w = (a + b) + (c + d)i
z - w = (a - b) + (c - d)i
z × w = (ac - bd) + (bc - ad)i = rs{cos(θ + φ) + isin(θ + φ)}
z ÷ w = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)i/(c² + d²) = r/s{cos(θ - φ) + isin(θ - φ)}
- ただしs = |w| > 0　に限る(0での除算は出来ないため)