自作問題です！
3問目は主張が中々だと思ったのですが、同一楕円周上にあることの証明方法を私は知らないので、一筆も進みませんでした。
1…xy平間において、「格子線」とは
「x,y軸いずれかに垂直であり、その軸と整数な点で交わる直線全ての和集合」である。
そして、xy平面に無作為に一辺がa（aは正の実数）の正方形を取る（向き、位置共にバラバラ）。
このとき、格子線に正方形が接触する確率を、aを用いて表せ。
2…100枚の異なるカードから、Aさん,Bさん,Cさんの3人それぞれが1枚以上を被らずに選ぶ。
AさんよりBさんが1枚多く選び、AさんとCさんが合わせて40枚選ぶような選び方は何通りあるか。
3(未デバッグ)…円Γが内接する凸四角形ABCDについて、Γと辺AB,BC,CD,DAとの接点をそれぞれE,F,G,Hとし、
直線AF,CE,BG,DF,CH,AG,DE,BHによって囲まれる、四角形ABCD内部の八角形を、順に頂点を取って八角形IJKLMNOPとする。
さらに、直線ACとHE、BDとEF、ACとFG、BDとGHの交点をそれぞれQ,R,S,Tとする。
このとき4つの八角形
(OPIJSGTN),(PIJKLTHQ),
(JKLMNQER),(LMNOPRFS)
について、その頂点がそれぞれ同一楕円周上にあることを示せ。
4…△ABCについて、その外接円をΓ₁、直線AB,ACにそれぞれ点P,Qで接し、さらにΓ₁に内接する円をΓ₂とする（混線内接円）。
直線BQ,CPの交点をX,それらとΓ₁の交点をそれぞれY,Z、△XYZの外接円をΓ₃とする。
また、Γ₁,Γ₂,Γ₃の半径をそれぞれR₁,R₂,R₃とする。
このとき、△ABCによらず、R₁,R₂のみによってR₃が決まることを示せ。
5…n,kを正整数とする。
n×nの正方形のマス目があり、マス目を1つずつ塗りつぶしていくことを考える。
2回目以降の各操作において、1つ前の操作で塗りつぶしたマスから、辺を共有するマスに移ることを繰り返してk回で到達「できない」マスしか塗りつぶしてはいけないとする。
このとき、全てを塗りつぶす方法が存在するような(n,k)を全て求めよ。
