数学が得意な方に質問です。 まず、n→＋∞とき、2n →∞、n-1→∞ですよね？ それなら、このとき、 Σ[k=0→n-1]1/n*f(n/k) = Σ[k=0→2n]1/n*f(n/k) となりますよね？ ですが実際の区分求積法では、 右辺は積分区間0から1で左辺が0から2の範囲となり、値が異なります。 なぜでしょうか？ わかりやすく回答お願いします。

順序の問題です。 nや2nの無限大を考えた後に和（Σ）をとるのではなく、0からnや2nまで和をとった後に無限大（区分求積なので無限に分割する）を考えます。

「Σ[k=0→n-1]1/n*f(n/k) = Σ[k=0→2n]1/n*f(n/k) となりますよね？」 ？ それを言うなら、 「 lim[n→∞]Σ[k=0→n-1]1/n*f(n/k) = lim[n→∞]Σ[k=0→2n]1/n*f(n/k) となりますよね？ 」 と、聞きたいんじゃないんですか？ なりませんよ。 左辺も右辺も数じゃないのだから、等しいか否かを論じることはできません。 論じることができるのは、 Σ[k=0→n-1]1/n*f(n/k) と Σ[k=0→2n]1/n*f(n/k) の比率の、 n→∞ としたときに向かって行く行き先が 1:1 か？だけです。 Σで足す個数の異なる物同士の比率なんですから、1:1 に近づきさえしない。 {Σ[k=0→n-1]1/n*f(n/k)}/Σ[k=0→2n]1/n*f(n/k) は、 n をどれほど大きくしても 1 に近づきさえしないでしょう？ それが 1:1 に向かって行ってるのなら、 lim[n→∞]Σ[k=0→n-1]1/n*f(n/k) の向かって行ってる先と lim[n→∞]Σ[k=0→2n]1/n*f(n/k) の向かって行ってる先は同じだ と言えるでしょうが、 1:1 に向かって行ってないんですから、そうならない。

∞は数値ではないため A=∞ B=∞ だとしても A=B とは言えません。

a=bだからaをbに置き換えても等しい 今回ならlim[n→∞]の下でn-1も2nも同じだからn-1を2nに置き換えても等しい と思ってるんでしょうが、lim[n→∞](n-1)=∞, lim[n→∞]2n=∞と表すだけで、これは普通の実数の等式とは違って∞を実数のように扱うことは一般的にはできません。 というのも∞の中にもある意味での強弱があり、同じ∞と書かれていても同一の実数のように扱えないからです。 要は、 lim[n→∞](n-1)=∞① lim[n→∞]2n=∞② からlim[n→∞](n-1)=lim[n→∞]2n みたいなことはできません(①②の∞は違う意味でのものだから)。 またそういうことが出来たとしても、今回はΣや1/n*f(n/k)とかいう別の部分もあるので一部だけを置き換えるみたいな操作も危険ではあります。 結局は証明できてない変形を使うのは危ないってことです。