exactlyって、ネイティブもよく使う言葉だと思うんですけど、これはtを発音しないのが正解なんですか？

ɪɡˈzæktli/です。ちゃんと発音しています。 音声付きの辞書で確認してみてください。

tは発音しますね。

日本語のラ行では、舌をペタっと当てて閉鎖されるけど 英語の L では、舌先だけを当て舌の両脇は空けてある。 だから、閉鎖音にはならない。 破裂音の ｔ によって閉鎖が起きるから発音しないのとは違う。 母音が無い場合やアクセントが無い場合、ｔの破裂はごく弱いというだけ。

イギリス人であっても、その人によってです。。。

イギリス人は割とハッキリtを発音してます。 アメリカ人はtをハッキリ発音しないので英語耳になっていないと聞こえないですが、アメリカ人は発音しているつもりなのでtの間が入っています。カタカナ表記は好きではないけど、イグザクリーではなくイグザクッリーみたいな。 イギリス人がアメリカ人にtをきちんと発音しろよな、と言うなら、イギリス人にはrをきちんと発音しろよな、と言いたいw