Nombre algebraic

En matemàtiques, un nombre algebraic és un nombre real o complex que és arrel d'un polinomi no nul amb coeficients racionals (o equivalentment enters).

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\,$

on:

$n>0(a_{n}\neq 0)$, és el grau del polinomi.

$a_{i}\in \mathbb {Z}$, els coeficients del polinomi són nombres enters.

El conjunt dels nombres algebraics és numerable i és un subcòs del cos $\mathbb {C}$ dels nombres complexos.

Classificació dels complexos

• Si un nombre real o complex no és algebraic, es diu que és transcendent.
• Si un nombre algebraic és solució d'una equació polinòmica de grau n, i no és solució d'una equació polinòmica de grau menor m < n, llavors es diu que és un nombre algebraic de grau n (n > 0).

Definició formal

Considerem $a\in \mathbb {C}$ un nombre algebraic diferent de 0. El grau ($d$) de $a$ correspon al grau més baix del polinomi amb coeficients racionals tal que $f(a)=0$. Seguint aquesta descripció, només hi ha un polinomi mònic de grau $d$ que té $a$ com a arrel. Aquest rep el nom de polinomi definitori.

Exemples

• Tot nombre racional $p/q$ és algebraic, perquè és arrel del polinomi $qx-p$.
• El nombre real ${\sqrt {2}}$ és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^{2}-2$. Més generalment, si $a$ és un nombre racional, llavors ${\sqrt[{n}]{a}}$ és un nombre algebraic de grau $n$ amd polinomi $x^{n}-a$.
• El nombre imaginari $i$ és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^{2}+1$.
• El nombre d'or és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^{2}-x-1$.
• En canvi se sap que el nombre π i la constant d'Euler no són algebraics: el matemàtic alemany Ferdinand von Lindemann va demostrar que no existeix cap polinomi de coeficients racionals que els tingui per arrel.

Bibliografia

• Baker, Alan. A concise introduction to the theory of numbers. Cambridge University Press, 1984. ISBN 0-521-28654-9. 
• Borwein, Peter. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95444-9. 
• Fröhlich, A.; Taylor, M.J.. Algebraic number theory. Cambridge University Press, 1991. ISBN 0-521-36664-X. 
• Lang, Serge. Algebraic number theory. Springer-Verlag, 1986. ISBN 0-387-94225-4.