今回の記事は、楕円曲線についての基礎的な事項についてのおさらいです。 これまでのtsujimotterのノートブックでは、色々な記事で楕円曲線について紹介してきました。しかしながら、どれも文字数や手間の関係で駆け足で紹介せざるを得ませんでした。ここで一度腰を据えて丁寧に解説したいと思います。 楕円曲線は、代数曲線としての側面を紹介することが多いですが、今回は複素トーラスとしての側面について中心に紹介します。これは、後でモジュラー曲線に関する記事で使うことを想定しています。 モジュラー曲線関連の情報は、以下のタグの一連の記事でまとめているところです。 tsujimotter.hatenablog.com なお、今回の記事はモジュラー曲線に関するシリーズ記事の一環で書いていますが、今回の記事に関して言えば、これまでの知識なしで読めるものとなっています。 目次： 1. 楕円曲線＝複素トーラス 2

回答 (3件中の1件目) 図のように各格子点に原点からの距離の自乗を記入していくと、各数nの書かれてる個数は n = x^2 + y^2 となる(x, y)の組の個数と等しくなります。 例えば n = 0 \dots 5 の場合の合計と平均は、 n = 0 の時、(x, y) = (0, 0)の1通り \\ n = 1 の時、(x, y) = (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) の4通り \\ n = 2 の時、(x, y) = (1, 1), (-1, 1), (-1, -1), (1, -1) の4通り \\ n = 3 の時、(x, y) ...

おはようございます。先週は次男が発熱の為、自分と次男だけ実家で生活していました。幸い次男はインフルエンザは陰性でしたが、なかなか熱が平熱に戻らず、結局、1週間ほど実家で過ごしていました。@kjunichiです。 背景 Mathematicaの公式の以下のツイートで知った。 357686312646216567629137という数が印刷された鉛筆が、イギリスの数学グッズにあります。 売りは、左側からどんなに削っていっても素数でありつづけること！ このような #切捨て可能素数 を見つける方法がコミュニティページに投稿されています。ぜひご覧ください。https://t.co/NLQtsj6goR pic.twitter.com/z8LTNVyCHE— Wolfram Japan (@WolframJapan) 2018年12月26日 truncatable primeをnode.jsで計算してみ

4 から 28 までの偶数を 2つの素数の和としてあらわした。ゴールドバッハは全ての 2よりも大きい偶数が少なくとも一通りで 2つの素数の和として表すことができることを予想した。 偶数を二つの素数で表す方法が何通りあるか表したグラフ。 予想には、ほとんど同値ないくつかの述べ方があり、次のように述べることが多い： 4以上の全ての偶数は、二つの素数の和で表すことができる。 6以上の全ての偶数は、二つの奇素数の和で表すことができる。 素数のうち偶数であるのは、2 のみであるから、偶素数同士の和となるのは、4=2+2 であり、4 のみである。 例えば、6以上で22までの偶数を奇素数の和で表す場合は、 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 = 7 + 3 = 5 + 5 12 = 5 + 7 14 = 3 + 11 = 7 + 7 16 = 3 + 13 = 5 + 11 18 = 5 +

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An -digit number that is the sum of the th powers of its digits is called an -narcissistic number. It is also sometimes known as an Armstrong number, perfect digital invariant (Madachy 1979), or plus perfect number. Hardy (1993) wrote, "There are just four numbers, after unity, which are the sums of the cubes of their digits: , , , and . These are odd facts, very suitable for puzzle columns and li

で与えられる平面3次曲線（英語版） 代数幾何学において，代数閉体 k 上のアフィン多様体（あふぃんたようたい，英: affine variety）とは，n 次元アフィン空間 kn において，k 係数の n 変数の多項式の素イデアルを生成する有限族の零点集合である．素イデアルを生成するという条件を外したときの集合は（アフィン）代数的集合と呼ばれる．アフィン多様体のザリスキ開部分多様体は準アフィン多様体（英語版）と呼ばれる． X が素イデアル I によって定義されるアフィン多様体のとき，商環 は X の座標環と呼ばれる．この環はちょうど X 上のすべての正則関数がなす集合である．言い換えると，X の構造層の大域切断の空間である．セールの定理（英語版）はアフィン多様体のコホモロジー的特徴づけを与える．定理により代数多様体がアフィンであることと がすべての i > 0 と X 上のすべての準連接層

こんにちは！ルシアンです。 随分と間が空いてしまい、すみません>_< 今回から、「大学数学プレスタディ」の幾何学シリーズを始めていきます^o^ 前回→新企画「大学数学プレスタディ」を始めます！ - 新米数学博士の数学談話室 図形を「イレモノ」に頼らず定義するには… 前回の記事において、「幾何学」シリーズでは イレモノを用いないで図形を定義する という目標を掲げました。 では、具体的にどうするか。 現代数学では、 集合＋「なにか」 の形で、新しい概念を定義することがよくあります。 今回は、まず 図形＝集合＋「距離」 として、「図形」を定義する方法を紹介します。 集合における「距離」 はじめに、「集合における『距離』とは何か」を定式化しましょう。 普段私たちが「距離」と呼んでいるものには、次の性質があります。 ０．ふたつの地点 に対して、「 と の距離」とよばれる実数 が定まっている。 １．

Deleted articles cannot be recovered. Draft of this article would be also deleted. Are you sure you want to delete this article? この記事では硬い線形項が存在する非線形な常微分方程式を数値的に解く方法を解説し、Rustのライブラリであるeomを使用して乱流の自己再帰的なカスケードのモデルであるGOYシェルモデルを数値的に解いてみます。 硬い微分方程式とは 数学において硬い方程式（英: stiff equation）は、近似解を計算するためのある数値的方法が、刻み幅を極めて小さくしない限り、数値的不安定になる微分方程式である。 硬い方程式 - Wikipedia 特に時間一階の微分の初期値問題 $$ \frac{dx}{dt} = f(x(t), t), x(0)

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数学において、逆三角関数（ぎゃくさんかくかんすう、逆三角函数、英: inverse trigonometric function、時折 cyclometric function[1]）は（定義域を適切に制限した）三角関数の逆関数である。具体的には、それらは正弦 (sine)、余弦 (cosine)、正接 (tangent)、余接 (cotangent)、正割 (secant)、余割 (cosecant) 関数の逆関数である。これらは三角関数値から角度を得るために使われる。逆三角関数は工学、航法、物理学、幾何学において広く使われる。 逆三角関数の表記はたくさんある。しばしば sin−1 (x), cos−1 (x), tan−1 (x) などの表記が使われるが、この慣習はよく使われる sin2 (x) といった、写像の合成ではなく冪乗を意味する表記と混同し、それゆえ合成的逆と乗法逆元との混乱

The (complete) gamma function is defined to be an extension of the factorial to complex and real number arguments. It is related to the factorial by a slightly unfortunate notation due to Legendre which is now universally used instead of Gauss's simpler (Gauss 1812; Edwards 2001, p. 8). It is analytic everywhere except at , , , ..., and the residue at is There are no points at which . The gamma fu

完全数の一つである6の図解 完全数（かんぜんすう、英: perfect number）とは、自分自身を除く正の約数の和が自分自身に等しくなる自然数のことである。完全数は素数ではあり得ず、合成数に限られる。完全数の最初の4個は 6 (= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14)、496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248)、8128 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064) である。 「完全数」は「万物は数なり」と考えたピタゴラスが名付けた数の一つであることに由来する[1]が、彼がなぜ「完全」と考えたのかについては何も書き残されていないようである[1]。紀元1世紀ごろは、全ての数は過剰数と不足数と完全数の3種

原始帰納的函数; prf 原始帰納的函数(primitive recursive function; prf)とは, 以下で定義される函数 $ \mathbb{N}^n \to \mathbb{N} $ のこと: 定数函数 $zero : \mathbb{N}^0 \to \mathbb{N}$, 後続函数 $suc : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, 射影函数 $p^n_i : \mathbb{N}^n \to \mathbb{N}$ はprfである prf $f : \mathbb{N}^m \to \mathbb{N}, f_i : \mathbb{N}^n \to \mathbb{N} (1 < i \leq m)$に対し, 合成 $g(\vec{x}) = f(f_1(\vec{x}), \cdots ,f_m(\vec{x}));\; g : \math

おはようございます。先日長男が奥さんと二人で、キッザニアのように職業体験できるアミューズメントパーク？に行き、パイロットや、スープ屋さんやら色々な職業体験をしてきたkjunichiです。 東大の過去問 フラッとテラテイルの質問を久しぶりに眺めていたら見つけた。 1989年東京大学の入試問題について｜teratail すでにRubyとPythonで解かれていた。 Perlでやってみた 先日公開されたPaiza.ioへアクセスしてPerlで解いてみた。 PerlはRubyと違い、標準では任意の桁数での演算はできないが、大きな桁数を扱うにはbignumというのを使えば出来そうだというのを以前Qiitaで見つけて、これを使ったが、 どうも答えが違う。そこで、bigintというのに変えたら、他の言語の回答と一致した。 まとめ bignumとbigintの違いを調べなくては。

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Docker で Python 3.4 を使えるようにして IPython Notebook を動かしてみます。 Python 3.4 に対応し切れていないライブラリもいくつかありますが、徐々に移行は進んでいますので、これから書くなら Python 3.4 が良いでしょう。ライブラリの対応状況は Python 3 Wall of Superpowers で確認できます。 Docker を使う理由は： Python 3.4 を使うときに、一手間かかることもある numpy や scipy などを使うときはインストールが大変なこともある (特にWindows) 計算量が増えるときは EC2 でインスタンスタイプを変えられると便利 IPython Notebook でデータ分析を進める理由はこの辺が分かりやすいと思います。 不正論文を減らす仕組みがここにある。iPython Notebookで作