はじめまして。テクノロジーインテリジェンス部で主にデータ周りの業務を担当しているshmです。今回、並河さんからご指名を頂き、記事を執筆させて頂くことになりました。 さてデータといえば、最近では統計処理ソフトR、Pythonの数値計算ライブラリNumPyや機械学習ライブラリscikit-learnなど高度なデータ分析を行うための環境を簡単に（しかもフリーで！）手に入れることが出来るようになりました。以前であれば大学の研究者やアナリストといった専門家向けのマニアックなツールとして知る人ぞ知る存在だったはずですが、近年のブームの中、書籍やネットで紹介されることで、その存在が広く知れ渡るようになりました。これらのツールは一定の書式で値を入力するだけで簡単に解析結果を返してくれる大変便利なものですが、得られた結果が妥当なものであるかどうかは別途、評価しなければならないのが普通です。その際、適切な評価

IBIS 2021 https://ibisml.org/ibis2021/ における最適輸送についてのチュートリアルスライドです。 『最適輸送の理論とアルゴリズム』好評発売中！ https://www.amazon.co.jp/dp/4065305144 Speakerdeck にもアップロードしました: https://speakerdeck.com/joisino/zui-shi-shu-song-ru-men

はじめに 行列の対角化という言葉がある。 高校や大学で数学を学んだ人なら、行列の対角化はすごい！ という話を何度も耳にしたことがあると思う。 ただ、それと同時に、対角化はいつでもできるわけではないという話や、対角化を一般化する話、対角化の別名や似ている定理など、対角化に関する様々な話を聞いて、混乱してしまった方も多いのではないだろうか。 今日はそんな行列の対角化について、できるだけ直感的に（数学をあんまり知らない人にも伝わるように）説明できる範囲で、私の知っていることをまとめてみようと思う。 この記事では、以下の用語について説明・分類する。 1. 対角化 2. 固有値分解 3. 特異値分解 4. ジョルダン標準形 はじめに 用語の分類 行列の基本性質（行列を知らない人向け） 行列積 零行列と単位行列 逆行列 直交行列 対角行列 ベクトル 対角化 対角化、固有値分解、特異値分解 対角化、ジョ

Chapter 1 Basic Probability This chapter is an introduction to the basic concepts of probability theory.

数学の理論を直感的に理解できる人はごく一握りで、イメージのしづらさ故に苦手意識を持つ人も多いはずです。起こる現象をビジュアル化することで、確率、分散などの数学の理論の理解を助けるサイト「Seeing Theory」をブラウン大学のダニエル・クニン博士らが開発して公開しています。 Seeing Theory https://seeing-theory.brown.edu/ 上記サイトにアクセスして、「Start」をクリックすると…… 「Chapter 1(第1章)」として「Basic Probability」(確率基礎)が表示されます。章ごとに3つの項目があり、第1章は「Chance Events」「Expectation」「Variance」となっています。 「Chance Events」をクリックすると…… 左に説明、右にイメージが表示されます。説明文には例として、コインを投げて出るのは

谷山公規（たにやま こうき） 教育・総合科学学術院教授 （１）はじめに 一見すると何でもない簡単な体の動きの中に幾何学の原理が秘められていることを解説します。 （２）体操実演 まず（片手でもいいのですが）両手を体の前に伸ばします。このとき指先は揃えて真直ぐ前方に伸ばし、手のひらは下を向くようにします（写真１）。次に両手を伸ばしたまま真上まで持ち上げます。その際腕はねじらずにそのまま持ち上げます。このとき指先は天を指し、手のひらは正面を向いています（写真２）。次に両手を伸ばしたまま左右に降ろして体の真横に来るまで持って来ます。その際にも腕はねじりません。すると依然として手のひらは正面を向いています（写真３）。最後に両手を伸ばしたまま水平に動かして体の前まで持って来ます。この際にも腕はねじりません。これで両手は最初の位置に戻ってきました。ところが両手のひらは最初は下を向いていたのに今度は向かい

一般に、境目は大事です。どこまでが友人で、どこからが恋人なのか、とか。 この記事は「好きな証明」アドベントカレンダー1日目の記事です。 上記の式のことを考えます。今回はは正の実数とします。そのが無限に乗じられているわけです。一見面食らってしまう見た目をしていますが、という列の極限として捉えられる、と考えればそこまで異常な概念でもないと思います。あるいは、この式全体を「」とでも置けば与式はと閉じた見た目にできるので怖くないです。（※極限値があると仮定） さて、当然のこととして、に値を入れてみたときにこの式がどう振る舞うのか知りたくなるのが人情です。とりあえず試しにだとしてみましょう。これはすなわち「」のことなわけですが、これはまあ1を何回乗じても1なのでも1になると予想がつくでしょう。 今度はだとしてみます。という数列は、実際に計算するととなり、明らかに発散（いくらでも大きくなる）しそうな雰

この記事は、線形代数において重要な「行列式」の概念だけを、予備知識ゼロから最短距離で理解したい人のための都合のいい記事です。 そのため、わかっている人から見れば「大雑把すぎじゃね？」「アレの話するんだったらアレの話もしないとおかしくね？」という部分が少なくないかもですが、趣旨をご理解いただいた上でお付き合いください。明らかな間違いに関しては、ご指摘いただけますと助かります。 線形変換 ↑座標です。 座標を変形することを考えます。つまり、座標変換です。 座標変換にもいろいろあって、以下のようにグニュッと曲げたやつ も座標変換には違いありませんが、今回ここで考えるのは線形変換だけにします。線形変換とは大雑把に言えば「すべての直線を直線に保つ」「原点を動かさない」という条件を満たす変換です。 そういう変換には例として、伸ばしたり縮めたりの拡大・縮小（scale）、原点中心に回す回転（rotate

「はてなダイアリー」が廃止されるらしいので「はてなブログ」に引っ越します。とりあえず、「エーゲ海のある都市の物語」は神話と歴史の間のエーゲ海に再編します。 それにしても「はてなブログ」の使い方がよく分からない。 前回の「（１１）：衰退」で、アイギナの話は終わりにしようと思っていたのですが、そうしたところどうも落ち着きがよくないと感じてきました。どこが変なのか考えてみたところ、現代もアイギナ（現代名エギナ）の町は立派に存在するのに、前回でまるでアイギナが滅亡したかのように書いて終わりにしたことが変なのだ、ということに思い当たりました。そこでその後のアイギナについても書こうと思ったのですが、これがなかなか難しそうです。 ペロポネソス戦争後、ローマ帝国の支配下にある時代までの歴史（私はそれ以降の歴史についてはあまり興味が持てないでいます）について英語版Wikipediaの「アイギナ」の項目の記述

はじめに 何らかのイベントがランダムに発生する（ポアソン過程という）とき、その発生間隔は「指数分布」という確率分布に従うことが知られています。 例えば、1分あたりに2人の客が来る店においては、来客の時間間隔が平均1/2 [分]の指数分布に従います。 でもどうしてそんな分布になるのでしょうか？ 数式をほとんど使わず、ゆるふわな説明によって直感的に理解してみましょう。 後半ではもう少し真面目になり、発生間隔が厳密に指数分布になることを示します。 実は、「ランダムなイベントの発生はポアソン過程と呼ばれ、その発生頻度はポアソン分布に従う」ことを知らずとも、「イベントの発生の仕方が時間的に一様である」という条件だけから指数分布が導けてしまうのです！ 統計の教科書にもあまり書かれていないことが多いので、ここに紹介します。 はじめに ゆるふわな説明 指数分布とはなにか なぜイベントの発生間隔が指数分布っ

データ分析ガチ勉強アドベントカレンダー 23日目。 ここまでデータをどういう風に処理したり、どういうタスクをこなしていくかについて勉強してきたが、 一度基礎的な事項に戻ってみたいと思う。基礎だから簡単というわけではない。基礎だからこそ難しく、また本質的な内容。 データ分析で使われている手法などをまとめて集約して、簡単な説明を付け加えていく。 しかし、このあたりの数学*1は苦手なので、なるべく直感的に自分のイメージを書いていく。 われわれが生きている空間や、距離は"正しい"のか ユークリッド空間/ユークリッド距離 点の距離 分布の距離 wasserstein計量 カーネル(再生核ヒルベルト空間) Topological Data Analysis(TDA) 次元削減/Embedding PCA(principal component analysis) t-SNE(t-Distributed

大昔に書いた下書きを発見したので公開 論文Fast algorithms for sparse principal component analysis based on Rayleigh quotient iteration Volodymyr Kuleshov著 概要疎行列の固有ベクトルを、レイリー商を使う事により高速に解く。 著者によると、既存のSparse Principal Component Analysis(sPCA)と比較しても、勝るとも劣らない精度で、1桁か2桁くらい計算量が少ないそうだ。 理屈上は、行列の行数（=列数）をn、非ゼロ要素の数をkとして、イテレーション毎に ちなみに既存手法には、べき乗法（PM）とか、半正定値計画問題（SDP）とか、Greedyな探索によるものとか、色々あるらしい。 10000×10000の疎行列（半正定値対象。ランクは3。密度は3*100*

戦前から戦中にかけて日本の近代数学は、後進国としては驚異的に発展する。それをわざわざ取り上げて、ブラバキ派のデュドネが同時期のポーランド数学と並べているくらいだ。 伊藤清の確率微分方程式もその一つだけど、金融工学での応用がさらに功績と重要性と名声を加速した。それ以前はストラトノビッチと並列して、どちらかというとIto積分はオマケみたいに扱われていたのだ。 しばらくは確率微分方程式の使いみちとしてはブラウン運動が最たるものだった。そのブラウン運動での数学的な定式化は伊藤型かストラトノビッチ型だったというわけだ。 結果として応用分野の発展からして、伊藤型のほうが普遍性があったということになる。ストラトノビッチより先駆的で、しかも応用範囲が広いのだ。 ただし、正規分布を前提とした方法だということは記憶しておくべきであろう。栄えある第一回ガウス賞を氏が受賞したのもガウス分布＝正規分布が縁を結んでい