K0とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/14 09:27 UTC 版)

「代数的K理論」の記事における「K0」の解説

函手 K0 は環 A に対し、A 上の有限生成な射影加群の同型類の集合を直積によりモノイドとみなしたときのグロタンディーク群を K0(A) とすることで得られる 。任意の環準同型 A → B は、射影 A-加群 M を M ⊗A B へ写すことにより、写像 K0(A) → K0(B) を誘導するので、 K0 は共変関手となる。 環 A が可換であれば、K0(A) の部分群を集合 K ~ 0 ( A ) = ⋂ p  prime ideal of  A K e r dim p , {\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideal of }}A}\mathrm {Ker} \dim _{\mathfrak {p}},} として定義することができる。ここに、 dim p : K 0 ( A ) → Z {\displaystyle \dim _{\mathfrak {p}}:K_{0}\left(A\right)\to \mathbf {Z} } は、有限生成射影 A-加群 M を自由 A p {\displaystyle A_{\mathfrak {p}}} -加群 M p {\displaystyle M_{\mathfrak {p}}} のランクへ写す写像である（局所環上の有限生成射影加群は自由加群であるので、この加群は実際、自由加群である）。この部分群 K ~ 0 ( A ) {\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)} は A の縮退した 0 番目の K-理論として知られている。 B を単位元のない環とすると、K0 の定義を次のように拡張することができる。環 A を、アーベル群 B⊕Z に積構造を (x,n)×(y,m)=(xy+ny+mx,nm) で入れたものとして定義する。 A の単位元は (0,1) である。このとき 短完全系列 0 → B → A → Z → 0 が得られるが、K0(B) を対応する写像 K0(A) → K0(Z) = Zの核として定義する。

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