論理式とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 04:10 UTC 版)

「一階述語論理」の記事における「論理式」の解説

項が何らかの対象を表す記号列であったのに対して、論理式は何らかの命題を表すものである。論理式は原子論理式と呼ぶ最も基本的な論理式から結合記号と量化記号を繰り返し用いることによって形成される。まず、原子論理式は次のように定義される： ある正の整数 n {\displaystyle n} に対するアリティ n {\displaystyle n} の述語記号 P {\displaystyle P} と n {\displaystyle n} 個の項 t 1 , ⋯ , t n {\displaystyle t_{1},\,\cdots ,\,t_{n}} を用いて P ( t 1 , ⋯ , t n ) {\displaystyle P(t_{1},\,\cdots ,\,t_{n})} と表される記号列を原子論理式 (atomic formula) と呼ぶ。 原子論理式を用いて、論理式 (well-formed formula, wff) あるいは式 (formula) は次のように帰納的に定義される： 原子論理式は論理式である。 ϕ {\displaystyle \phi } と ψ {\displaystyle \psi } が論理式ならば、 ( ¬ ϕ ) {\displaystyle (\lnot \phi )} , ( ϕ ∧ ψ ) {\displaystyle (\phi \land \psi )} , ( ϕ ∨ ψ ) {\displaystyle (\phi \lor \psi )} , ( ϕ ⇒ ψ ) {\displaystyle (\phi \Rightarrow \psi )} , ( ϕ ⇔ ψ ) {\displaystyle (\phi \Leftrightarrow \psi )} は論理式である。 ϕ {\displaystyle \phi } が論理式で x {\displaystyle x} が変数ならば、 ( ∀ x ϕ ) {\displaystyle (\forall x\phi )} , ( ∃ x ϕ ) {\displaystyle (\exists x\phi )} は論理式である。 上記の 1. と 2. と 3. によって論理式とされるものだけが論理式である。 例． 再び自然数論の言語を考える。定義から、 [ ( S 0 + S 0 ) = S S 0 ] {\displaystyle [(S0+S0)=SS0]} , [ ( 0 + x 5 ) = S 0 ] {\displaystyle [(0+x_{5})=S0]} はすべて原子論理式（したがって論理式）であり、 { ¬ [ ( S 0 + S 0 ) = S S 0 ] } {\displaystyle \{\lnot [(S0+S0)=SS0]\}} , { [ ( 0 + x 5 ) = S 0 ] ∧ [ ( S 0 + S 0 ) = S S 0 ] } {\displaystyle \{[(0+x_{5})=S0]\land [(S0+S0)=SS0]\}} , { ∀ x 5 [ ( 0 + x 5 ) = S 0 ] } {\displaystyle \{\forall x_{5}[(0+x_{5})=S0]\}} , { ∃ x 2 [ ( 0 + x 5 ) = S 0 ] } {\displaystyle \{\exists x_{2}[(0+x_{5})=S0]\}}

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