拡散近似とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/05 08:54 UTC 版)

「遺伝的浮動」の記事における「拡散近似」の解説

遺伝子頻度変化の連続的な変化は拡散方程式を用いて記述できる。 集団における対立遺伝子の初期頻度をp, 時間t 経過後の対立遺伝子頻度をx として、確率分布を ϕ ( p , x ; t ) {\displaystyle \phi (p,x;t)} とする。 時間の流れに従って確率分布を記述する場合、 ∂ ϕ ( p , x ; t ) ∂ t = − ∂ [ M ( x ) ϕ ( p , x ; t ) ] ∂ x + 1 2 ∂ 2 [ V ( x ) ϕ ( p , x ; t ) ] ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial \phi (p,x;t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial \left[M(x)\phi (p,x;t)\right]}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}[V(x)\phi (p,x;t)]}{\partial x^{2}}}} , これは、コルモゴロフの前向き方程式と呼ばれる。 生物学的に解釈すれば、M(x)は世代あたりの定方向性を持つ効果(突然変異、自然選択等)による対立遺伝子頻度変化が起こる確率、V(x)は遺伝的浮動による対立遺伝子頻度変化が起こる確率である。 また、時間の流れに逆らって確率分布を記述する場合、 ∂ ϕ ( p , x ; t ) ∂ t = M ( p ) ∂ ϕ ( p , x ; t ) ∂ p + V ( p ) 2 ∂ 2 ϕ ( p , x ; t ) ∂ p 2 {\displaystyle {\frac {\partial \phi (p,x;t)}{\partial t}}=M(p){\frac {\partial \phi (p,x;t)}{\partial p}}+{\frac {V(p)}{2}}{\frac {\partial ^{2}\phi (p,x;t)}{\partial p^{2}}}} , これは、コルモゴロフの後ろ向き方程式と呼ばれる。 この式において、左辺が0のとき、全ての集団においてある対立遺伝子が固定している状態を表す。この場合の式は特に次のように記述される。 0 = M ( p ) d u ( p ) d p + V ( p ) 2 d 2 u ( p ) d p 2 {\displaystyle 0=M(p){\frac {{\mathit {d}}u(p)}{{\mathit {d}}p}}+{\frac {V(p)}{2}}{\frac {{\mathit {d}}^{2}u(p)}{{\mathit {d}}p^{2}}}} , u ( p ) {\displaystyle u(p)} は、初期頻度pの対立遺伝子が完全に固定する確率である。

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