平面変形とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/11 08:31 UTC 版)

「変形」の記事における「平面変形」の解説

平面変形、または平面ひずみは、基準配置において単一平面に限定された変形の一つである。変形が単位ベクトル e1 、e2 によって描写される平面に限定される場合、変形勾配は以下の式で記述される。 F = ∂ x ∂ X = F 11 e 1 ⊗ e 1 + F 12 e 1 ⊗ e 2 + F 21 e 2 ⊗ e 1 + F 22 e 2 ⊗ e 2 + e 3 ⊗ e 3 {\displaystyle F={\cfrac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial {\boldsymbol {X}}}}=F_{11}{\boldsymbol {e}}_{1}\otimes {\boldsymbol {e}}_{1}+F_{12}{\boldsymbol {e}}_{1}\otimes {\boldsymbol {e}}_{2}+F_{21}{\boldsymbol {e}}_{2}\otimes {\boldsymbol {e}}_{1}+F_{22}{\boldsymbol {e}}_{2}\otimes {\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{3}\otimes {\boldsymbol {e}}_{3}} 行列形式は以下の通りである。 F = [ F 11 F 12 0 F 21 F 22 0 0 0 1 ] {\displaystyle F={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} 変形勾配は極分解により、引き延ばしを表す部分 U と回転を表す部分 R に分解することができる。全ての変形が平面内であるため、以下のように記述できる。 F = R U = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 − sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] [ λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 1 ] {\displaystyle F=RU={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} ここで、θは回転角度、λ1 、λ2 はストレッチである。

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