伊藤の公式とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/02 05:46 UTC 版)

「伊藤の補題」の記事における「伊藤の公式」の解説

確率過程 { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} が確率微分方程式 d X t = f ( t ) d t + g ( t ) d B t {\displaystyle dX_{t}=f(t)dt+g(t)dB_{t}} に従っているとき, h ( t , x ) {\displaystyle h(t,x)} が t , x {\displaystyle t,x} について二回連続微分可能とすると d h = ∂ h ∂ t | x = X t d t + ∂ h ∂ x | x = X t f ( t ) d t + ∂ h ∂ x | x = X t g ( t ) d B t + 1 2 ∂ 2 h ∂ x 2 | x = X t ( g ( t ) ) 2 d t {\displaystyle dh=\left.{\frac {\partial h}{\partial t}}\right|_{x=X_{t}}dt+\left.{\frac {\partial h}{\partial x}}\right|_{x=X_{t}}f(t)dt+\left.{\frac {\partial h}{\partial x}}\right|_{x=X_{t}}g(t)dB_{t}+\left.{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\right|_{x=X_{t}}(g(t))^{2}dt} が成立する 。確率過程を含まない積分表示では現れない x {\displaystyle x} の微分に関する二次の項が存在する。これはウィーナー過程の性質 ( d B t ) 2 = d t {\displaystyle (dB_{t})^{2}=dt} による。

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