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KIT数学ナビゲーションのページの中で線形代数に関するページを集めている．特に断らない限りベクトル，行列の成分はすべて実数であるとして説明する． ■行列 行列の定義 行ベクトル，列ベクトル，係数行列，列ベクトルを用いた行列の表し方，成分が複素数のベクトルと行列 行列の和 行列のスカラー倍 －Aの定義 行列の差 行列の積 行列の計算則 単位行列 零行列 正方行列 転置行列 対称行列 直交行列 ■線形変換 ベクトル空間（線形空間） n次元ベクトル空間 内積，成分が複素数の場合の内積 ベクトルの長さ(大きさ，絶対値) ベクトルの直交性 線形写像 線形写像の合成 単射・全射・全単射 1次変換 1次結合 回転行列 3次元の回転行列(x軸まわり) 1次独立と1次従属 n 個の n 次元列ベクトルが1次独立であるための必要十分条件 n 個の n 次元列ベクトルが1次従属であるための必要十分条件 部分空間
生産工程管理者育成 テキスト クオリティ・マネジメント 講義・演習 編 第２章 データ解析と QC7 つ道具 １．問題発生と未然防止 部門間の協業による管理活動を機能別管理といいます。これは、品質・原価・ 量・納期のような経営の基本要素ごとに、全社的目標を定め、それを効果的に達 成するために、各部門の業務分担の適正化を図り、かつ部門横断的に連携・協力 して行われる活動です。 これは重大な不具合発生を、その発生の以前の時点において情報分析または兆 候観測によって予知して防止策を講ず ることをいいます。 組織にしたがって部門毎に業務を遂行す るのが原則であるが、後工程はお客様との 精神をもって業務にあたることで、品質や コストなどを部門横断的に連携して問題発 生の未然防止を図ることが重要です。最近 では、プロジェクトチームなどが企業にお いて広く導入されるようになってきていま す。 ２ データ
区間とは ，数直線上のある区切りの間の数（実数）の集合のことである．区切りの数を含むか含まないかで区間の呼び方が異なり，開区間，閉区間，半開区間がある． ■閉区間 区切りを含む場合を閉区間という．2つの区切りを a ， b （ただし， a<b とする）とすると { x|a≦x≦b , x は実数 } で表わされる数の集合を閉区間 [ a,b ] という． 閉区間を表わす記号として， [ ， ] を使う． ■開区間 区切りを含まない場合を開区間という．2つの区切りを a ， b （ただし， a<b とする）とすると { x|a<x<b , x は実数 } で表わされる数の集合を開区間 ( a,b ) という． 開区間を表わす記号として， ( ， ) を使う． ■半開区間 片方の区切りを含み，他方の区切りを含まない場合を半開区間という．2つの区切りを a ， b （ただし， a<b とする
- 小山陽一 1/6 - 円周率を計算してみよう 金沢工業大学 基礎教育部 小山 陽一 ねらい 科学の歴史は，不思議な現象や理屈に合わない現象があると，それについて詳しく調べ，新し い仮説をたて，その仮説が問題の現象を説明できるか，仮説に矛盾がないか，などを研究するこ とで発展して来ている．すでに出来上がった理論を（教育プログラムの）順序どおり理解してい くことは，短時間でその理論を理解するには便利であるが，深みのないもので終わってしまうこ とも多いだろう．少し本筋から外れた現象でも疑問を持ち，それについて考えてみるということ こそが科学の本質ではないだろうか． 数学についても同様で，いろいろな定数や超越関数の値などが，どのように求められるかとい う疑問を持ち考えて見ることは，より深く数学を理解する上で重要なことである． ここでは， 「円周率」をとりあげ，その値を求める方法について，いくつ
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∑ k=1 n k 2 の計算式 数列 1 2 , 2 2 , 3 2 ,⋯, n 2 の和（和記号Σを参照） ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ■公式の導出 ( k+1 ) 3 − k 3 =3 k 2 +3k+1 に順に k=1,2,3,⋯,n 代入し，下のように縦にそろえて加えると 2 3 − 1 3 =3· 1 2 +3·1+1 3 3 − 2 3 =3· 2 2 +3·2+1 4 3 − 3 3 =3· 3 2 +3·3+1 ⋯⋯ +) ( n+1 ) 3 − n 3 =3· n 2 +3·n+1 ¯ ( n+1 ) 3 −1=3 ∑ k=1 n k 2 +3 ∑ k=1 n k +n となる．左辺の合計が非常に簡単になることに注目すること． ∑ k=1 n k = n( n
三角関数は直角三角形を使って定義されている．この直角三角形の各辺に呼び名がある． 直角の角と対向（向き合う）する辺 AB を斜辺という． 図のように直角でない三角形の内角の一方の角度の大きさを θ（すなわち ∠A を θとしている） とすると ・ 角度 θ の角と対向する辺 BC を対辺（たいへん） ・ 角度 θ の隣にある辺で斜辺でない辺 AC を隣辺（りんぺん） という． 三角関数の定義をこの辺の名称を使って表すと，
三角形の各辺 a , b , c と各角 A , B , C の間には以下に示す関係がある． a 2 = b 2 + c 2 −2bccosA b 2 = c 2 + a 2 −2cacosB c 2 = a 2 + b 2 −2abcosC この関係を余弦定理という． ■証明 三角形の頂点 C から辺 AB に垂線 CD を引く． 直角三角形 ACD と直角三角形 BCD ができる． 直角三角形 BCD に三平方の定理を用いると CB 2 = CD 2 + BD 2 ･･････(1) となる． CB = a ， CD = b sin A (⇒ここを参照)， BD = c − b cos A の関係を(1)に代入すると a 2 = ( bsinA ) 2 + ( c−bcosA ) 2 = b 2 sin 2 A+ c 2 −2cbcosA+ b 2 cos 2 A = b 2
2023年 金沢工業大学 工大祭 数学パズル 工大祭の「数学パズル」，多数の解答，ありがとうございました． 数学パズルの問題 数学パズルの解答 数学パズルトップページ Produced by 数理考房 数検にチャレンジ！プロジェクト 過去の数学パズルもどうぞ 2019年の「数学パズル」 2018年の「数学パズル」 2017年の「数学パズル」 2016年の「数学パズル」 2015年の「数学パズル」 2014年の「数学パズル」 2013年の「数学パズル」 2012年の「数学パズル」 2011年の「数学パズル」
■解説 アークサインはサイン（ sinx ） の逆関数のことで， sin −1 x ，あるいは， arcsinx と表す． y 1 = sin x 1 の関係をアークサインを用いて表すと， x 1 = sin −1 y 1 となる（右図参照）． y= sinx において逆関数が存在するためには， x と yが1対1の対応関係でなければならない．よって， − π 2 ≦x≦ π 2 の範囲で y= sinx の逆関数が定義される． 下図に y= sinx のグラフと y= sin −1 x のグラフを示す． y = sin x のグラフと y = sin − 1 x のグラフは y = x の直線に関して対称である． ホーム>>カテゴリー分類>>三角関数>>アークサイン 最終更新日： 2024年2月16日
y = f 1 x 1 ， x 1 = f 2 x 2 ， x 3 = f 3 x 3 の関係がある合成関数 y = f 1 f 2 f 3 x 3 は x 3 が独立変数である．この場合， dy d x 3 = dy d x 1 · d x 1 d x 2 · d x 2 d x 3 となる． 一般的に, y = f 1 x 1 ， x 1 = f 2 x 2 ， x 2 = f 3 x 3 ， ･･････ ， x n = f n x n の関係があるとき dy d x n = dy d x 1 · dy d x 1 · dy d x 1 · ⋯ ⋯ · d x n − 1 d x n となる．このような関係をチェーンルールという． ■導出 合成関数の導関数より y = f 1 x 1 x 1 = f 2 f 3 x 3 = g 3 x 3 y = f 1 g 3 x 3 の合成関数と
生産工程管理者育成 テキスト クオリティ・マネジメント 講義・演習 編 第４章 ヒューマンエラーの対処法 １ はじめに システムを構成する基本要素は、Man(人)/Machine（設備）/Material（材料） /Method（方法）など、いわゆる４M として取り上げられます。その中で、特に 人の要素は、さまざまなばらつきの要因になる場合が多いのが特徴です。ばらつ きをなくすためには、人の要素をいかに管理するかが必要となります。この管理 はシステムの中で人が関与する割合が高ければ高いほど重要になってきます。 一番欠かせないことは「人は本来エラーするもの」という前提のもとで、シス テムを設計することです。 ここでは、人に基づくエラーがどのように発生するのか、その原因にはどのよ うなものがあるのか、さらにヒューマンエラーを防止するにはどのような工夫を したらよいのかを学習していきます。 ２
■部分分数分解の主なタイプ ●タイプ1 cx+d ( x+a )( x+b ) = A x+a + B x+b ⇒ A ， B を求める方法 ●タイプ2 bx+c ( x+a ) 2 = A ( x+a ) 2 + B x+a ⇒ A ， B を求める方法 ●タイプ3 c x 2 + d x + e ( x + a ) 2 ( x + b ) = A ( x + a ) 2 + B x + a + C x + b ⇒ A ， B ， C を求める方法 ●タイプ4 d x 2 +ex+f x+a x 2 +bx+c = A x+a + Bx+C x 2 +bx+c ⇒ A ， B ， C を求める方法 ■タイプ1 cx+d ( x+a )( x+b ) = A x+a + B x+b の形に部分分数に分解する． A x+a + B x+b = A( x+b )+B( x+a ) ( x+a
三角形の各辺 a , b , c と各角 A , B , C の間に以下に示す関係がある． a sinA = b sinB = c sinC この関係を，正弦定理という． 三角形の外接円の半径を R とすると，正弦定理は a sinA = b sinB = c sinC =2 R となる． ■証明 三角形の頂点 C から辺 AB に垂線 CD を引く． 直角三角形 ACD と直角三角形 BCD ができる． 直角三角形の辺と三角比より △ ACD より： sinA= CD AC →CD=ACsinA △ BCD より： sinB= CD BC →CD=BCsinB ∴ACsinA=BCsinB 式を変形して BC sinA = AC sinB よって a sinA = b sinB ( ∵a=BC,b=AC ) ･･････(1) 同様にして a sinA = c sinC
次のことを証明せよ． z=f( y x ) ならば x ∂z ∂x +y ∂z ∂y =0 である． ⇒ 解答 z=f( x 2 − y 2 ) ならば y ∂z ∂x +x ∂z ∂y =0 である ⇒ 解答 z= 1 x f( y x ) ならば x ∂z ∂x +y ∂z ∂y +z=0 である ⇒ 解答 z=log x 2 + y 2 ならば ( ∂z ∂x ) 2 + ( ∂z ∂y ) 2 = 1 e 2z である． ⇒ 解答 次の関数の dz dt を求めよ． z=f( x,y ) , x=a+ht , y=b+kt ⇒ 解答 z= x 2 + y 2 , x=t−sint , y=1−cost ⇒ 解答 z=xy , x=2 t 2 +1 , y= t 2 +3t+1 ⇒ 解答 z = x tan y , x = sin − 1 2 t , y = cos − 1
期待値とはある試行を行ったとき，その結果として得られる数値の平均値のことである．すなわち，試行によって得られる数値 X が x 1 , x 2 , x 3 ,⋯, x n であり，それぞれの値をとる確率が p 1 , p 2 , p 3 ,⋯, p n とすると， X の期待値は， 期待値 = x 1 · p 1 + x 2 · p 2 + x 3 · p 3 +⋯+ x n · p n となる． ■事例による説明 数字1のカードが1枚，数字2のカードが2枚，数字3のカードが3枚，数字4のカードが4枚，合計10枚のカードがあります．10枚のカードの中から1枚カードを引いて，出た数値の100倍の金額をもらえるとします．すなわち，3のカードがでれば300円もらえるとします．10枚のカードの中から1枚カードを引いた時，もらえる金額の期待値を求めなさい． ます，それぞれの数字がでる確率を求めま
■ sin（正弦）での合成 asinθ+bcosθ = a2 + b 2 sin( θ+α ) ･･････(1) ただし，αはsinの係数aをx成分，cosの係数bをy成分とする点P と原点O を結ぶ線分OP と x 軸のなす角を一般角で表したものである． a 2 + b 2 sin θ+α = a 2 + b 2 sinθcosα+cosθsinα = a 2 + b 2 cosα sinθ+ a 2 + b 2 sinα cosθ (1)が成り立つとすると a 2 + b 2 cosα=a ， a 2 + b 2 sinα=b となる．いいかえると， α は sinα= b a 2 + b 2 , cosα= a a 2 + b 2 を満たす．図はこの関係を示したものである．通常， −180°<α≦180° とする． ⇒公式の導出，ベクトルを用いた三角関数の合成公式の導出 ■
ベクトルを用いた加法定理の証明 sin( α±β )=sinαcosβ±cosαsinβ cos( α±β )=cosαcosβ∓sinαsinβ tan( α±β )= tanα±tanβ 1∓tanαtanβ （複号同順） ■証明 x 軸の正方向の基本ベクトルを e 1 ⟶ ， y軸の正方向の基本ベクトルを e 2 ⟶ ，単位円上の点Pの位置ベクトルを r ⟶ とする． r ⟶ を成分表示すると r ⟶ =( r x , r y ) ･･････(1) と表されるとする．ただし，三角関数の定義より r x =cosα ･･････(2) r y =sinα ･･････(3) となる． x軸の正方向の基本ベクトルを e 1 ⟶ ， y軸の正方向の基本ベクトルを e 2 ⟶ とすると， r ⟶ の基本ベクトル表示は r ⟶ = r x e 1 ⟶ + r y e 2 ⟶ =( cosα
無限回微分可能な関数 f( x ) について， f x =f 0 + f ′ 0 x+ f ″ 0 2! x 2 +⋯⋯+ f n 0 n! x n +⋯⋯ = ∑ n=0 ∞ f n 0 n! x n 参考：マクローリン定理 を f( x ) のマクローリン展開という ．これはテイラー展開において， a=0 としたものである． ■主な関数のマクローリン展開 1 1−x =1+x+ x 2 + x 3 + x 4 +⋯⋯+ x n +⋯ ⇒導出 （収束範囲： −1<x<1 ） e x =1+x+ 1 2! x 2 + 1 3! x 3 + 1 4! x 4 +⋯⋯+ 1 n! x n +⋯ ⇒導出 （収束範囲： −∞<x<∞ ） sinx=x− 1 3! x 3 + 1 5! x 5 − 1 7! x 7 +⋯⋯+ ( −1 ) n 1 ( 2n+1 )! x 2n+1 +⋯ ⇒導出（収束
■ホーム ■解法のヒント ■公式集 ■JSXGraph ■数I ■数A ■数II ■数B ■数III ■数C ■new YouTube動画 ■三角関数 ■微分 ■積分 ■複素数 ■関数 ■幾何 ■ベクトル ■確率 ■数列 ■行列 ■指数/対数 ■数と式 ■その他 ■偏微分 ■重積分 ■微分方程式 ■級数展開 ■線形代数 ■ラプラス変換 ■物理 ■工学 ■STEM ■チャットボット 微分 KIT数学ナビゲーションのページの中で微分に関するページを集めています． 微分可能とは 微分に関する基本式：平均変化率，微分係数，導関数，高次導関数 微分形式 基本となる関数の導関数 x α ， sinx ， cosx ， tanx ， sin −1 x ， cos −1 x ， tan −1 x ， e x ， a x ，logx , log a x 導関数（微分）の基本式 I 定数，関数の定数倍，和と差
合成関数 y=f( g( x ) ) を次の手順に従っておこなう． 合成関数を変数 u を用いて以下のように2つの関数に分ける． y=f( u ) u=g( x ) y ， u をそれぞれ微分する． まず， yを uで微分する．微分した後，変数 u を変数 xで表しなおす． dy du = f ′ ( u )= f ′ ( g( x ) ) 次に， uを xで微分する． du dx = g ′ ( x ) 合成関数の微分 dy dx は，計算した dy du と du dx を掛け合わせる．合成関数の導関数を参照のこと． dy dx = dy du · du dx = f ′ ( g( x ) )· g ′ ( x ) ■例 y= ( logx ) 3 を微分する． y = u 3 u = log x と2つの関数に分け，それぞれを微分する． dy du =3 u 2 =3 ( logx
２重根号をはずすときに用いる式 a>0,b>0 のとき， a+b+2 ab = a + b a>b>0 のとき， a+b−2 ab = a − b ■式の導出 a + b を2乗すると， ( a + b ) 2 = ( a ) 2 + 2 a b + ( b ) 2 = a + 2 a b + b = a + b + 2 a b すなわち， ( a + b ) 2 =a+b+2 ab となる．次に，両辺の2乗根をとると， a + b = a + b + 2 a b (∵ a + b > 0 ) となり，上式が得られる． a+b−2 ab = a − b は a − b >0 に注意して同様に計算すればよい． ■事例 5+2 6 の2重根号をはずすには， a+b+2 ab = a + b と比較をすることにより， { a+b=5 ab=6 を満たす a ， bを求めればよいことがわかる．
sin( α±β )=sinαcosβ±cosαsinβ cos ( α±β )=cosαcosβ∓sinαsinβ tan ( α±β )= tanα±tanβ 1∓tanαtanβ （複号同順） ⇒証明へ ■加法定理より派生する公式 2倍角の公式，3倍角の公式，半角の公式，和積の公式，積和の公式，合成公式 ■加法定理の図形による理解 α<90° ， β<90° ， α+β<90° ， 0<α−β<90° の場合について図形を用いて加法定理を理解する． ●和の場合 この図を理解するのに参考になるページ⇒ここ 図より sin( α+β )=sinαcosβ+cosαsinβ cos( α+β )=cosαcosβ−sinαsinβ となる． ●差の場合 この図を理解するのに参考になるページ⇒ここ 図より sin( α−β )=sinαcosβ−cosαsinβ cos( α−β )=cos
累 乗 a を n 回かけたものを a の n 乗といい， a n と表す． 式で書くと a×a×a×⋯×a×a ⏟ n回 = a n ( n ：正の整数) となる． a n の形をした数または式を a の累乗（るいじょう）といい， a を底， n を指数という． a の累乗には以下に示す指数法則が成り立つ． 指数法則 m ， n は正の整数とするとき ● a m · a n = a m+n ● ( a m ) n = a mn ● ( ab ) m = a m b m ■指数法則の具体的な計算例 a m · a n = a m+n の具体的計算例 3 2 × 3 3 = ( 3 × 3 ) × ( 3 × 3 × 3 ) = 3 2 + 3 = 3 5 3を5回かけたことになる （ 2+3=5 ） 5 3 × 5 5 = ( 5 × 5 × 5 ) × ( 5 × 5 × 5 ×
■ホーム ■解法のヒント ■公式集 ■JSXGraph ■数I ■数A ■数II ■数B ■数III ■数C ■new YouTube動画 ■三角関数 ■微分 ■積分 ■複素数 ■関数 ■幾何 ■ベクトル ■確率 ■数列 ■行列 ■指数/対数 ■数と式 ■その他 ■偏微分 ■重積分 ■微分方程式 ■級数展開 ■線形代数 ■ラプラス変換 ■物理 ■工学 ■STEM ■チャットボット 公式と重要な関係式 ■高校数学 ■関連動画 2次関数 数と式 複素数と複素平面 行列 三角比 三角関数 指数と対数 平面幾何 平面のベクトル 空間のベクトル 図形と方程式 個数の処理 確率と確率分布 数列 微分法 積分法 極限限 式と証明 ■解析学 偏微分 微分方程式 重積分 級数展開 ラプラス変換 線形代数 最終更新日： 2024年6月21日 [ページトップ] 利用規約 google translate (En
2つのベクトルのなす角 ベクトルを平行移動し一方のベクトルの始点を他方のベクトルの始点に重ねた場合に2つのベクトルで作られる角度の180°以下となる方の角度を2つのベクトルのなす角という．（下図を参照のこと） 2つのベクトルのなす角の余弦の値はベクトルの内積の定義より以下のようになる． ■平面ベクトルの場合（2次元の場合） a → =( a 1 , a 2 ) ， b → =( b 1 , b 2 ) とし， a → と b → のなす角を θ ( 0 ≦ θ ≦ 180 ° ) とすると（ただし， a → ≠ 0 → ， b → ≠ 0 → ） cosθ= a → · b → | a → || b → | = a 1 b 1 + a 2 b 2 a 1 2 + a 2 2 b 1 2 + b 2 2 ■空間ベクトルの場合（3次元の場合） a → =( a 1 , a 2 , a 3 )
垂線の長さ（点と直線の距離） 点 ( x 0 , y 0 ) から直線 ax+by+c=0への垂線の長さ（言い換えると 点 ( x 0 , y 0 ) と直線 ax+by+c=0 との距離）は | a x 0 +b y 0 +c | a 2 + b 2 となる． ■導出計算 点 ( x 0 , y 0 ) を P 点とする．この P 点から直線 ax+by+c=0へ下ろした垂線の足を点 Q とし，その座標を ( x 1 , y 1 ) をとする．垂線の長さ PQ は PQ=| PQ ⟶ |= ( x 1 − x 0 ) 2 + ( y 1 − y 0 ) 2 ( ∵ PQ ⟶ =( x 1 − x 0 , y 1 − y 0 ) ) ･･････(1) 次に，直線の方向ベクトル m → を求める． y=− a b x− c b より m → =( 1,− a b ) m → と PQ ⟶
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