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テレビのバラエティ番組で「この挑戦に成功したら賞金●万円！」というコーナーをよく目にしますが、以前見た番組で「ＡとＢのどちらに挑戦するか、選ばせてあげましょう。あなたが選んだ挑戦に成功したら、賞金を差し上げます」というコーナーがありました。選択肢は以下の二つです。 Ａ：２個のうち１個がワサビ寿司。ワサビ寿司を避けて普通の寿司を食べることができればチャレンジ成功。 Ｂ：１０個のうち１個がワサビ寿司。ワサビ寿司を避けて普通の寿司を食べることができたら、残った寿司は下げられ、また新たに１０個の寿司が運ばれてくる。そのうち１個がワサビ寿司なので、再び避けて食べる。これを１０回連続成功させれば、チャレンジ成功。 選ぶのであれば当然、成功確率が高い方を選びたいわけで、選択の段階から勝負は始まっているわけです。あなたならどちらに挑戦しますか？ これは多少数学に興味のある方であれば、どちらを選択すべきか、

当ブログの記事では、基本的には何かに水を差すような内容や批判的な事柄は極力書かないようにしているのですが、ここのところ「さすがにちょっと目に余るなぁ」と感じ続けていることがあるのでご紹介したいと思います。 まずは以下をご覧ください。 --------------------------------------------------------------------------------- 「2011年はとても不思議な年で、自分の生まれ年(西暦)の下二桁と、今年なる年齢を足すと、どの人も必ず『111』になる」 --------------------------------------------------------------------------------- 例えば1985年生まれの人は今年で26歳になるので、西暦の下二桁である85と自分の年齢である26を足すと 85+26

今日３月３日は、ドイツの数学者、ゲオルグ・カントールの誕生日です。 カントールは１９世紀に生まれ、「集合論」と呼ばれる、現代数学を記述する上で必要不可欠な分野を築き上げました。集合論のおかげで、それまでの数学の諸理論を厳密に体系立てて整理することができるようになったと共に、近現代の数学が発展するきっかけになったと言っても過言ではありません。 従って集合論は数学の「基礎の基礎」とも呼べる分野なので、多くの大学の数学科では初期の段階で学びます。前提知識なしで臨める分野なので、興味のある方は自習すると良いでしょう。記事の最後、追記部分に私が勉強した本を載せておきます。 この「集合論」を理解でき、それほど抵抗を感じないという方は、大学で学ぶ数学と愛称が良いでしょう。逆に高校までの数学が得意な方でも、「集合論を全く受け付けない」という方は、理学部の数学には苦労すると思います。将来数学を勉強しようと思

平成22年2月22日2時22分22秒を見逃してしまいました…。 それはそうと、国立大入試の前期日程がいよいよ明後日に迫りましたね！ 毎日寒いですが、受験生の方は風邪などひかぬよう、体調管理に気をつけながら最後の追い込みがんばってください。 今からできることはそう多くないと思いますが、数学に関しては、既に身に付いている知識と意識の持ちようだけで少し点数を伸ばせるかもしれません。それは「検算をしっかりするように心がける」ことです。 「検算」は結構軽視されがちで、数学が得意な人でも(もしかしたら、得意な人ほど)しっかり身についている人は少ない気がします。 それは、学校などで「検算しなさい」とは教えられることがあっても、"そもそも「検算」とはどういうことなのか？"をしっかりと時間を割いて教えられることがない、ということが原因になっているのではないかと私は考えています。 そこで今回は、なぜ「検算」が

『ピタゴラスの定理』というのを、だいたいの方はご存知だと思います。三平方の定理とも呼ばれますが、 「直角三角形の斜辺を c、他の二辺を a、b とおくと、 が成り立つ」 というものですね。 上の式を満たす三数 (a,b,c) のうち、a,b,c 全て整数のものは特にピタゴラス数と呼ばれます。これもご存知の方が多いでしょう。 それでは、ピタゴラス数は無限に存在するのでしょうか？ 言い換えれば、各辺の長さが整数の直角三角形は無限に存在するのでしょうか？ これに関しては、即座に「YES」と答えることができます。 なぜなら、a,b,c が を満たしているとすると、任意の自然数 d に対して、da,db,dc は を満たしますから、(da,db,dc) はピタゴラス数になるからです。 しかしこれは図形的には、各辺の長さが a,b,c の三角形を相似比 d で拡大したものに過ぎず、明らかでつまらない答

大変ご無沙汰しております。 半年近く更新しなかったにもかかわらず当ブログに訪れてくださる方が一定数いらっしゃり、気づけばページビューが100万ヒットを超えていて、有難い限りです。 さて、更新していない間にも数学的に考えさせられる出来事がたくさんありました。今回は、前回更新時以降に報道された事柄で、私が数学的に興味深いなぁと思ったものを感想と共にご紹介していこうと思います。それぞれの事柄に対して皆さまはどう思われるか、ご意見を聞けたり議論できたりすれば幸いです^^ 【１】円周率５兆ケタを一個人がパソコンで計算 (参考記事) 円周率に関しては、以前『円周率とアカシックレコード』という記事で少しご紹介しました。２年前にこの記事を書いた時点では「東大の金田研究室と日立の共同研究で、小数点以下１兆桁計算されている！」というのが世界記録だったのですが、昨年8月に筑波大学の研究センターにより塗り替えられ

４月１３日に、数学検定１級を受けてきました。 私は資格というものにそれほど興味がなく、殆ど持っていないのですが、私に指導を依頼される方に安心感を持っていただくためにも、せめて数検をとっておくべきかなと考えたのが主な受験理由です。ちょうど指導している生徒さんの一人が２級に挑戦するというので、同じ日に私は１級を受けてきました。 数検自体初受験で、問題もたまにこのブログで紹介するもの以外は見たことなかったので、どんな問題が出るのか楽しみにしていきましたが、知識的には高校数学＋αで、受験と違い真正面からストレートに解いていけば解ける問題ばかりでした。 ということで、合格しました。 まだ正式な通知は来ていないのですが、今はネットで確認できるようになっていて、以下のような画面が出ます。 大昔に英検を受けた時はこういうサービスはなかった気がします。驚きました。ちなみに一次だけ合格だと「一次合格」、二次だ

数学の研究集会に参加すると、数学好きな人だらけの場所に身をおくことになるので、休憩時間の雑談などを通して面白い問題やパズルを仕入れられることがあります。 もちろん本業の研究に関する議論をしたり最新事情を取り入れるのが主目的ではあるのですが、空き時間やセッション終了後の交流・雑談も、私にとって研究集会に顔を出す楽しみの一つです。 今回ご紹介する問題も、そんな雑談の中で教えてもらった問題です。 【問題】―――――――――――――――――――――― テーブルの上にたくさんのコインが置かれており、 そのうち１０枚だけが表、残りは全部裏が上に なっている状態であるということがわかっています。 目隠しをした状態で、表が上になっているコインの 枚数が同じような２つのグループに分けてください。 但し、触った感触で表裏の判断はつかないものとします。 ―――――――――――――――――――――――――― 注１

「デジタル画像」という言葉、今この画面をパソコンで観ているあなたなら、一度は耳にしたことがあるでしょう。 画像というのは本来、輝度が連続的に分布しているものですが、コンピュータで扱うには、それを離散的な画素の集まりに直し（サンプリング）、更に各画素の輝度を整数で表さねばなりません（量子化）。 もう少しわかりやすく言うと、デジカメで撮った写真などを拡大すると、 一色の点がいっぱい集まったものであることがわかりますよね。 それに対し、我々が日常で目にするものは、虫眼鏡で見たり、 どんなに拡大して見たりしても、このように見えることはありません。 この違いが、デジタル画像とアナログ画像の違いと言っていいでしょう。 さて、こうしてデジタル画像とアナログ画像を比較すると、 アナログの方が多くの情報量を持っていることがわかります。 細かくしてっても正確に見える方が望ましいですものね。 しかしながら、コン

今日は小ネタです。英語版の語呂合わせについて。 英語圏では、円周率「π」の値 3.1415926535... を、以下のような詩で覚えるということを教えてもらいました。 How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics,... 「量子力学のキツい講義の後には酒でも飲みたいなぁ」くらいの意味になるかと思います。この詩からどうやって「π」を復元するかですが、実は各単語の文字数が「π」の各桁の数字に対応しています。 例えば最初の "How" は 3 つのアルファベットからなる単語なので「π」の最初の数字は 3 ということです。続く "I" はただ 1 つのアルファベットからなる単語なので 3 に続く数字は 1 とわかります。このようにして復元していくと、 π

今日は数学ではなく論理学の話題です。 当ブログを読んでくださり度々コメントもいただいているakanekoさんからメールで教えられた問題を紹介します。 これは割と有名な問題で、私も一度聞いたことがありました。 以下のようにして解決できます。 なぜこれで解決できるかというと… もし尋ねた相手が天使だとすると、正直に答えてくれますから「はい」と答えたら指さした道は天国への道、「いいえ」と答えたら地獄への道です。 一方で、尋ねた相手が悪魔だと仮定しましょう。 もし指さした方向が天国ならば、悪魔は『こちらは天国への道ですか？』という質問には「いいえ」で答えますから、上記の質問への答えはその逆、つまり「はい」になります。 もし指さした方向が地獄ならば、悪魔は『こちらは天国への道ですか？』という質問には「はい」で答えますから、上記の質問への答えはその逆、つまり「いいえ」になります。 従って、悪魔が「はい

フェルマーと言えばワイルズが解決したフェルマーの最終定理で有名ですが、それ以外にも様々な定理を残しています。 最終定理に代表されるように、フェルマーの残した定理は前提知識なしで理解可能なものが多く、またどの定理も、最終定理に負けず劣らず美しいものばかりです。 そんな定理の中からいくつか、紹介していこうと思います。 今回はフェルマーの最終定理の次に有名で、定理にその名前も付いている「フェルマーの小定理」を紹介します。 "合同式"という概念を使うと主張も証明もスッキリするのですが、今回はこの概念は敢えて使わず、証明も一般的なものとは少し趣向を変えて示してみようと思います。 高校一年生くらいの数学の知識があれば読めると思います。 【証明】 1p を p で割った余りが 1 になることは自明なので、n≧2 について示します。 n に関する数学的帰納法で証明します。 そのために、一つ補題を用意します

前回の記事で集合論について述べたので、カントールの対角線論法と並んで、集合論の最初に出てくる有名な話である「ラッセルのパラドクス」について話そうと思います。 ラッセルというのは20世紀に活躍した論理学者、バートランド・ラッセルの名前から来ています。「ラッセル＝アインシュタイン宣言」で有名ですね。またイギリス元首相ジョン・ラッセルの孫にあたるらしいです。 さて、ラッセルのパラドクスのステートメントは簡潔で、 「集合全体の集まりを集合とみなすことはできない」 というものです。 …このまま話を進めると帰結のありがたみが分かりづらいので、ラッセルのパラドクスのよくある例え話として、図書目録の話で進めていきます。 ラッセルのパラドクスを図書目録で表現すると、 「現存する全ての図書について記載した図書目録は存在しない」 ということになります。 『実際そんなん作るの無理でしょ。』というのはナシです＾＾；

問題を厳密に書くと上のようになりますが、簡単に言うとつまり以下の値を求めてくださいということです。 最初に断っておくと、高校数学の範囲内では厳密な解答を書くことはできません。というか、高校までの数学では「無理数乗」というものの厳密な定義がされていないので、問題自体が超高校級であるとも言えます。 しかしながら、上の数列は実にキレイな値に収束しており、その値は高校生の方でも十分予想することが可能です。追記部分に解答を載せておくので、クイズ感覚で考えてみてください＾＾ なお、この問題は、数学講師のひとりごとで出されていた「無理数の無理数乗は無理数か？」という問題について色々考えてたら思いつきました。これ自体も面白い問題ですので、興味のある方は考えてみてください。こちらは高校生の方でも厳密に解答することが可能です。追記の最後に私の解答を載せておきます。 よろしければワンクリックお願いします＾＾↓

最近は受験シーズンだったので受験の話が多かったですが、2009年から就職する方たちにとっては、就活シーズンですよね。 私の周りでも、いよいよ就活が忙しくなってきたという人が少なくありません。 今日は就活中のある友人と話していた時に教わった話です。 履歴書などを封筒に入れて送る際に、三つ折りにして送らねばならない、という経験が誰にでもあったと思います。 一回で綺麗に三つ折りできれば良いのですが、なんとなく目算で折ったら封筒に入らなかったりしてやり直した結果ぐじゃぐじゃになった、という経験も、多くの方はあるのではないでしょうか。 そこで、失敗しない三つ折りの方法を紹介します。 まず、以下の図において、ABがBEに重なるように（つまりABEFが正方形になるように）斜めに折り曲げます。 そうすると、直線EFができます。この直線を覚えておいて、折った紙を元に戻しましょう。 次に、この直線EFに沿って

最近、記事に対したくさんのコメントをいただけて、とても嬉しいです＾＾ 記事に関連する事柄や興味深い話題などを教えていただいて勉強したり、記事の不適切な点や疑問点を指摘していただいて記事を改善したり、励ましのメールを貰ったりと、どのコメントも皆、私自身の成長と、より良いブログ作り、そして次の記事を書く際の大きな原動力につながっています☆☆ありがとうございますm(_ _)m さて、今回はそのコメントを通して、私が昔の記事で「これどうなんでしょう？」と問題提起したことに対する明快な証明を教えていただいたので、紹介しようと思います。 一週間ほど前に、四色定理について紹介しました。 四色定理とは、『どんな地図でも、４色あれば、隣接する領域の色が異なるように塗り分けることができる。』というもので、近年コンピュータを使って証明された定理です。 ただし、「どんな地図でも」とありますが、これは我々が見ている

----------------------------------------------------------------------------- 規則は、行為の仕方を決定することはできない。 なぜなら、いかなる行為の仕方も、 その規則と一致させることが可能だからである。 ----------------------------------------------------------------------------- これは、オーストリアの哲学者、ウィトゲンシュタインの言葉です。ウィトゲンシュタインのパラドクスと呼ばれています。 …ちょっと言葉が難しいので、簡単に言い直すと、 ----------------------------------------------------------------------------- どういうデタラメなことをしても、 それが「規

『数覚』という言葉をご存知でしょうか？ 私がこの単語を初めて聞いたのは数学科のガイダンスの時です。最初にお話になった先生が「数学というのは細かい論理を積み上げていくだけの学問と思われがちですが、実は"数覚"とも言うべき数学的センスが最も要求されます。」という旨の話をされました。 当時「数学とはかっちりした論理の学問だ」と思っていた私は凄く驚いたのですが、最近になってやっと、"数覚"の重要性がわかってきたように思います。 先日、コメントでnishiさんに、この"数覚"について質問されたので、私の思うところを書いてみようと思います。…と言っても私はまだ数学を学ぶ一人の学生であって、数学とは何たるかについて語れるほど偉くはありませんから、あくまで一つの考え方として読んでいただければ幸いです。 まず、数学でしばしば目標とされることとして ?ある条件を持つ集合の元に共通の性質を見出すこと。 ?並んで

トラックバック一覧 1. フェルマー数　１ [数学講師のひとりごと] 2006年05月16日 23:03 先日紹介した今年の京都大学の前期題４問ですが、大翔さんの記事で既に紹介されていました。 大翔さんのブログは面白くてためになります。お薦めです。 さて、まだ√素数の話の途中ですが、今日はちょっと違う話をしたいと思います。 素数が無数にあることは、は.... コメント一覧 (27) 1. 保 2006年02月28日 12:05 私は高一です。アドバイスありがとうございました。１対１をやりたいとおもいます。あと東大の問題が解けた時とても自信が着きました。これからも頑張ります。 ところで京都大学の問題の解答の短さにあぜんでした。 2. 大翔 2006年02月28日 16:51 おお、やっぱ高１でしたか。良いペースですね＾＾ 普通問題文が短い場合は解答が長くなるものが多いのですが、この問題は例外