大学の「数論」（初等整数論と，代数的数論）の講義ノートPDF。独学用のオンライン参考書

講義ノートの目次へ

大学の数学で勉強する，数論（Number Theory）の入門に役立つPDF。

• （１）整数を扱う初等整数論と，

• （２）群・環・体を使った代数的数論（Algebraic number Theory）

の２つに分類。

前者は，いわゆる「整数問題」というやつの体系と思ってよい。

後者はもっと本格的で，「代数的な数」を扱い，自然な流れでガロア理論が出てくる。

※群・環・体（抽象代数学）の知識は，こちらのノートで学ぶとよい。

※数論の続きは，リーマン・ゼータ関数のノートで学ぶとよい。

（１）初等整数論・数論入門の講義ノート

しっかり学べる教科書PDF：

数論入門　April 28, 2011
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~ybaba/...

• 大阪教育大，６４ページ。

　1.自然数について
　2.数学的帰納法，整列原理
　3.整除法
　4.約数，倍数
　5.ユークリッドのアルゴリズム
　6.素数
　7.完全数とメルセンヌ素数
　8.一次不定方程式
　9.有限連分数
　10.無限連分数
　11.非正規連分数と関数の連分数表現
　12.剰余環
　13.オイラーのφ関数
　14.十進小数
　15.剰余類の位数
　16.原始根
　17.平方剰余とルジャンドルの記号
　18.平方剰余の相互法則
　19.ヤコビの記号
　20.直角三角形の三辺をなす整数―因数分解による解法
　21.直角三角形の三辺をなす整数―ディオファントスの方法
　22.ガウス整数
　23.アイゼンシュタイン整数
　24.ペル方程式
　25.辺が整数で120度の角をもつ三角形

数論初歩
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/PDF/...

• ２５６ページ。
• 引用：「数の理論の美しさを伝えてゆく．…あつかう範囲は，おおよそ『初等整数論講義』(高木貞治,共立出版)の第1章，第2章に対応する有理整数の古典理論で，主眼は平方剰余の相互法則をいくつかの初等的な方法で証明することである．さらに素数分布について一端に触れることができるようにした．また，自然数の公理的構成から整数，有理数の構成についても最後に一章をあてた．…章ごとに演習問題をつけた．演習問題はその内容を理解する助けとなる「練習問題」と関連する「入試問題」で構成した．「入試問題」は20世紀末から21世紀初頭にかけて日本に大学入学試験で実際に出題されたものである．」

　第1章 数論の基礎
　第2章 剰余類
　第3章 相互法則
　第4章 除法のできる環
　第5章 連分数
　第6章 ペル方程式
　第7章 素数分布
　第8章 存在と構成
　第9章 解答

2011 年度 数論入門
http://siva.cc.hirosaki-u.ac.jp/usr/m...

• 初等整数論のノート。弘前大の講義資料。

　約数、倍数
　素因数分解と素数
　ユークリッドの互除法
　一次不定方程式
　剰余類
　合同式
　連立１次合同式
　オイラーの公式
　オイラーの定理、フェルマーの小定理

An Introductory Course in Elementary Number Theory
http://www.saylor.org/site/wp-content...

• １７１ページ。

　1 Introduction
　2 Prime Numbers
　3 Congruences
　4 Multiplicative Number Theoretic Functions
　5 Primitive Roots and Quadratic Residues
　6 Introduction to Continued Fractions
　7 Introduction to Analytic Number Theory
　8 Other Topics in Number Theory

Number Theory
https://vk.com/doc-51506779_315942414...

• ６１７ページもあるMITのノート。ものすごく網羅的。初等整数論から始めて，体論とガロア理論，類体論，L関数など高度な話題に進んでゆく。

　I Elementary Number Theory
　II Field and Galois Theory
　III Algebraic Number Theory
　IV Class Field Theory
　V Analytic Number Theory
　VI Automorphic Forms
　VII Arithmetic Geometry
　VIII Arithmetic Dynamics
※昔のURLは http://web.mit.edu/~holden1/www/math/number-theory.pdf だった。15/10/24にリンク修正

A Course on Number Theory
http://www.maths.qmul.ac.uk/~pjc/note...

• 139ページ，ロンドンのクイーンメアリー大。

　1 Overview and revision
　2 Algebraic numbers
　3 Finite continued fractions
　4 Infinite continued fractions
　5 Periodic continued fractions
　6 Lagrange and Pell
　7 Euler’s totient function
　8 Quadratic residues and non-residues
　9 Sums of squares
　10 Quadratic forms
　11 Revision problems and solution

Webページ形式で読めるノート：

整数論　素数　数学
http://www.tamagaki.com/math/math.html

• 初歩的な整数論が中心のページ

読み物：

数理基礎論
http://www.sm.u-tokai.ac.jp/~sugita/C...

• ７１ページ，東海大。数論をめぐる読み物的なノートPDF。

　第1章 数の話
　第2章 数学の論理と計算機械
　第3章 複雑系，カオス，フラクタル
　第4章 暗号の数理
　第5章 現代数学への道標

（２）代数的数論の講義ノート

しっかり学べる教科書PDF：

2次体の整数論　2011-01-13
http://mathematics-pdf.com/pdf/number...

• ９９ページ。

　1　代数的整数
　2　2次体
　3　トレースとノルム
　4　整数環
　5　整数底
　6　判別式
　7　代数体の単数
　8　2次体の単数
　9　代数体のイデアル
　10　2次体のイデアル
　11　イデアルのノルム
　12　イデアルの整除
　13　素イデアル
　14　素イデアル分解
　15　原始イデアル
　16　素数の2次体での分解

代数学演習・代数的整数論　2014 年度後期
http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/q...

• ６０ページ，上越教育大。

　0　有理整数環Zのイデアルと剰余環
　1　ピタゴラス数とガウスの整数環
　2　代数的整数
　3　代数体
　4　代数体のイデアル
　5　類数の有限性
　6　イデアル論の基本定理
　7　イデアルのノルム
　8　単数
　9　素数の分解

代数体の整数基底と素数の素イデアル分解
http://www.rkmath.rikkyo.ac.jp/~kida/...

• 立教大，７８ページ。

　1　判別式と終結式
　2　代数的整数論入門
　3　整数環の計算
　4　素数の素イデアル分解

Algebraic Number Theory
http://web.mit.edu/~holden1/www/math/...

• MIT，３４１ページ。

　I Algebraic Number Theory
　1 Rings of integers
　2 Ideal factorization
　3 The class group
　4 Ideals on quadratic rings
　5 Units in number fields
　6 Cyclotomic fields
　7 Valuations and completions
　8 Local and global fields
　9 Ramification
　II Class Field Theory
　10 Class Field Theory: Introduction
　11 Group homology and cohomology
　12 Introduction to Galois cohomology
　13 Local class field theory
　14 Global class field theory
　15 Applications
　16 Complex multiplication

Algebraic Number Theory
http://www.jmilne.org/math/CourseNote...

• １６４ページ。

　1 Preliminaries from Commutative Algebra
　2 Rings of Integers
　3 Dedekind Domains; Factorization
　4 The Finiteness of the Class Number
　5 The Unit Theorem
　6 Cyclotomic Extensions; Fermat’s Last Theorem.
　7 Absolute Values; Local Fields
　8 Global Fields

ページ数の短いPDF：

代数的整数論　Fermat の最終定理へ　 2012 年 3 月 30 日
http://seminar.hrizm.net/up/src/up001...

• １３ページ。フェルマーの最終定理に関連。読みやすい。

　0　お話
　1　Z[√−5]の場合
　2　一般の代数体の場合
　3　Fermatの最終定理

関連する記事：

大学入試の数学で，有名な名問や難問のまとめ（解答つき）。難易度は「標準」から「史上最大」まで
http://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20140705/MathExamProblemF...

「集合と位相」の講義ノートPDF。位相空間論に入門するためのオンライン教科書
http://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20140628/SetAndTopologyPD...

数論幾何（Arithmetic Geometry）を学ぶためのPDF資料。代数幾何による数論
http://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20140626/ArithmeticGeomet...

「ラムダ計算」を独学で学習するための，講義ノートやPDFのリンク集　（復習用の問題付き）
http://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20130313/LambdaCalculusBa...

講義ノートの目次へ