一矩陣

此條目頁的主題是所有元素皆為1的矩陣。關於主對角線元素為1、其餘元素為0的矩陣，請見「單位矩陣」。

在數學中，一矩陣又稱為全一矩陣，是指所有元素皆為1的矩陣，通常以符號$J$來表示，並以下標符號表示矩陣的維度，例如：

$J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad$

部分文獻將之稱為單元矩陣或單位矩陣（英語：unit matrix）。但「單位矩陣」一詞更常代表主對角線為一、其餘為零的單位矩陣，兩者是不同的矩陣。

類似地，一向量或全一向量是指只所有元素皆為1的向量，可以視為有一行或只有一列的全一矩陣，其也不應與單位向量混淆。

特別地，$1\times 1$的全一矩陣與單位矩陣是等價的，即$I_{1}=J_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$。對於所有維度大於或等於2的全一矩陣，若其為方陣，則其行列式為0。

性質

所有的$n\times n$的全一方陣（為方陣的全一矩陣）$J_{n}$有以下性質：

• $J_{n}$的跡為$n$
• 若$n\geq 2$，$J_{n}$的行列式為$\det J_{n}=0$。對於小於2的情況，行列式為1，即$\det J_{1}=\det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1$。（若也將$n=0$考慮進來，則若將空矩陣也視為一種全一矩陣，則其行列式也為1）
• 全一矩陣$J_{n}$的特徵多項式為$(x-n)x^{n-1}$
• 全一矩陣$J_{n}$的極小多項式為$(x-n)x$
• 全一矩陣$J_{n}$的秩為1、特徵值為$n$（代數重數為1）和0（代數重數為$n-1$）
• $J^{k}=n^{k-1}J$，其中$k=1,2,\ldots .$
• 全一矩陣$J$是阿達瑪乘積的單位元素

當全一矩陣$J$在實矩陣運算時，以下附加性質成立：

• 全一矩陣$J$為半正定矩陣
• ${\frac {1}{n}}J_{n}$為冪等矩陣
• 全一矩陣$J$的矩陣指數為$\exp(J_{n})=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J_{n}$

應用

全一矩陣可以應用於數學領域中的組合學，特別是在涉及代數方法的圖論中。舉例來說，如果$A$是$n$個頂點無向圖$G$的鄰接矩陣，且$J$是與$A$相同維度的全一矩陣，則若$AJ=JA$時，$G$為正則圖，反之亦然。

參見

• 零矩陣
• 矩陣單元