Jedničková matice

Jedničková matice a jedničkový vektor mají všechny prvky rovny jedné. Nesmějí se zaměňovat s jednotkovou maticí $\mathbf {I}$ a jednotkovými vektory.

Definice a značení

Jedničková matice nad okruhem $R$ s neutrálním prvkem $1$ je

$\mathbf {J} _{mn}={\begin{pmatrix}1&\cdots &1\\\vdots &\ddots &\vdots \\1&\cdots &1\end{pmatrix}}\in R^{m\times n}$ .

Jedničková matice obsahující pouze z jeden sloupec se nazývá jedničkový vektor. Je-li zřejmé, že jde o čtvercovou matici řádu $n$, lze psát jen $\mathbf {J} _{n}$, případně indexy zcela vynechat, jsou-li zřejmé nebo nepodstatné. Vzhledem k tomu, že jde o dobře definovanou matematickou konstantu bývá značena neskloněným písmem. Jednotkové matice mohou být značeny $1\!\!1$ a podobně.

Ukázky

$\mathbf {J} _{22}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad \mathbf {J} _{33}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad \mathbf {J} _{25}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad \mathbf {J} _{12}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}$

Vlastnosti

Algebraické vlastnosti

Jedničková matice může být také reprezentována součinem jedničkových vektorů:

$\mathbf {J} _{mn}=\mathbf {J} _{m1}\cdot (\mathbf {J} _{n1})^{\mathrm {T} }$

Transponovaná matice k jedničkové matice je opět jedničková matice, neboli:

$(\mathbf {J} _{mn})^{\mathrm {T} }=\mathbf {J} _{nm}$

Jedničková matice $\mathbf {J} _{mn}$ je neutrálním prvkem v maticovém okruhu $(R^{m\times n},+,\circ )$, přičemž ${\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}$ je součet matic a ${\boldsymbol {A}}\circ {\boldsymbol {B}}$ je Hadamardův součin. Pro všechny matice ${\boldsymbol {A}}\in R^{m\times n}$platí:

${\boldsymbol {A}}\circ \mathbf {J} _{mn}=\mathbf {J} _{mn}\circ {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}$ .

Hodnost, determinant, stopa

Jedničkové matice $\mathbf {J}$ nad tělesem $T$ mají následující vlastnosti:

Hodnost matice je rovna jedné

$\operatorname {rank} \mathbf {J} _{mn}=1$ .

Determinant čtvercové jedničkové matice je

$\det \mathbf {J} _{nn}={\begin{cases}0&{\text{pro}}~n>1,\\1&{\text{pro}}~n=1.\end{cases}}$

Stopa reálné nebo komplexní čtvercové matice je

$\operatorname {tr} \mathbf {J} _{nn}=n$ .

Vlastní čísla a vlastní vektory

Charakteristický polynom reálné nebo komplexní jedničkové matice $\mathbf {J} _{nn}$ je

$\chi (\lambda )=\lambda ^{n-1}(\lambda -n)$ .

Vlastní čísla jsou

$\lambda _{1}=n$ a $\lambda _{2}=\ldots =\lambda _{n}=0$ .

Příslušné vlastní vektory jsou

$(1,\ldots ,1)^{\mathrm {T} }$ a $(1,-1,0,\ldots ,0)^{\mathrm {T} },\ldots ,(0,\ldots ,0,1,-1)^{\mathrm {T} }$ .

Minimální polynom $\mathbf {J}$ je $x^{2}-nx$ .

Součiny

Součin dvou reálných nebo komplexních jedničkových matic je

$\mathbf {J} _{mn}\cdot \mathbf {J} _{np}=n\cdot \mathbf {J} _{mp}$ .

Výpočet $k$ -té mocniny čtvercové jedničkové matice pro $k\geq 1$ je dán vztahem

$(\mathbf {J} _{nn})^{k}=n^{k-1}\mathbf {J} _{nn}$ .

Matice ${\tfrac {1}{n}}\mathbf {J} _{nn}$ je proto idempotentní, neboli

${\tfrac {1}{n}}\mathbf {J} _{nn}\cdot {\tfrac {1}{n}}\mathbf {J} _{nn}={\tfrac {1}{n}}\mathbf {J} _{nn}$ .

Exponenciála jedničkové matice je

$\exp(\mathbf {J} _{nn})=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {J} _{nn})^{k}}{k!}}=\mathbf {I} _{n}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n^{k-1}}{k!}}\mathbf {J} _{nn}=\mathbf {I} _{n}+{\frac {e^{n}-1}{n}}\mathbf {J} _{nn}$ ,

Reálná i komplexní čtvercová matice $\mathbf {J}$ je pozitivně semidefinitní.

Aplikace

Jedničková matice se používá v kombinatorice, zvláště v algebraické teorii grafů. Například, je-li ${\boldsymbol {A}}$ matice sousednosti neorientovaného grafu $G$ na $n$ vrcholech a $\mathbf {J}$ je jedničková matice řádu $n$, pak $G$ je regulární, právě když ${\boldsymbol {AJ}}={\boldsymbol {JA}}$.

Programování

V numerickém softwarovém balíku MATLAB je jedničková matice generována funkcí ones(m,n).

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Einsmatrix na německé Wikipedii a Matrix of ones na anglické Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Jednotková matice