Matrice cu toate elementele 1

În algebra liniară, o matrice cu toate elementele 1^[1] este o matrice în care fiecare element are valoarea 1.^[2] Exemple de astfel de matrici:

J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad

Unele surse numesc aceste matrici „matrice unitate”,^[3], dar acest termen este folosit de obicei pentru matrici de alt tip.

Un vector cu toate elementele 1 este o matrice cu toate elementele 1, având o singură linie sau o singură coloană. Ei nu trebuie confundați cu versorii.

Proprietăți

O matrice $J$ de dimensiuni $n \times n$ cu toate elementele 1 are următoarele proprietăți:

Urma lui $J$ este egală cu $n$ ,^[4] și determinantul este 0 pentru n ≥ 2, dar 1 pentru $n$ = 1. (Se poate lua în considerare și cazul $n$ = 0, caz în care este vorba de o matrice vidă, al cărei determinant este 1.)
Polinomul caracteristic^⁠(d) al $J$ este $(x-n)x^{n-1}$ .
Polinomul minimal^⁠(d) al $J$ este $x^{2}-nx$ .
Rangul matricei $J$ este 1, iar vectorii proprii sunt $n$ (cu multiplicitatea 1) și 0 (cu multiplicitatea $n$ − 1).^[4]^[5]
$J^{k}=n^{k-1}J$ pentru $k=1,2,\ldots \,.$ ^[6]
$J$ este elementul neutru pentru produsul Hadamard.^[7]

Dacă $J$ este o matrice ale cărei elemente sunt numere reale, acestea au și următoarele proprietăți:

Matricea cu toate elementele 1 apare des în domeniul matematic al combinatoricii, în special prin aplicarea metodelor algebrice la teoria grafurilor. De exemplu, dacă A este matricea de adiacență a unui graf neorientat $G$ cu $n$ noduri, iar $J$ este matricea cu toate elementele 1 de aceeași dimensiune, atunci $G$ este un graf regulat dacă și numai dacă $AJ$ = $JA$ .^[8] Un alt exemplu este că matricea apare în unele demonstrații algebrice ale formulei lui Cayley, care oferă numărul arborilor de acoperire^⁠(d) ai unui graf complet, folosind teorema lui Kirchhoff^⁠(d).

^ Tiberiu Vasile Trif, Analiză matematică, Cluj-Napoca, Ed. Casa Cărții de Știință, 2017, ISBN: 978-606-17-1102-4, p. 18
^ Horn, Johnson, 2012, p. 8
^ en Eric W. Weisstein, Unit Matrix la MathWorld.
^ ^a ^b en Stanley, Richard P. (2013), Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More, Springer, Lemma 1.4, p. 4, ISBN 9781461469988 .
^ Horn, Johnson, 2012, p. 65
^ ^a ^b en Timm, Neil H. (2002), Applied Multivariate Analysis, Springer texts in statistics, Springer, p. 30, ISBN 9780387227719
^ en Smith, Jonathan D. H. (2011), Introduction to Abstract Algebra, CRC Press, p. 77, ISBN 9781420063721 .
^ en Godsil, Chris (1993), Algebraic Combinatorics, CRC Press, Lemma 4.1, p. 25, ISBN 9780412041310

en Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), „0.2.8 The all-ones matrix and vector”, Matrix Analysis, Cambridge University Press, p. 8, ISBN 9780521839402

Portal Matematică