複數
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圓周率 π = 3.141592653… |
數學上複數係一個可以用 嚟表示嘅數,同都係實數,而係單位虛數,符合。
叫複數嘅實部,而 叫做虛部。當 嗰陣,個數就係,即係實數; 嘅話,就叫複數;如果 而 ,就叫純虛數。一個複數 嘅實部又可以寫成 ,虛部又可以寫成 。
舉個例, 係複數(亦係虛數),而實部係 ,虛部係 ; 係純虛數。又可以寫成 、。
複數亦都可以用 嘅形式表達, 係半徑, 係傾角。當傾角等於 ° 嘅倍數時,係一個實數;而其他角度時()就係虛數。
複數可以加、減、乘、除,同實數一樣,用數學嘅語言嚟講複數集形成一個場,不過就有深刻啲嘅特性。例如,唔係每個實系數多項式都有實數根(簡稱實根),而複數根(簡稱複根)就個個都有(代數基本定理),呢個性質叫做代數封閉。亦即係話,複數係實數嘅閉包。
歷史上,數學家係因為解三次方程式而發現複數嘅,佢哋用 Cardano 公式嚟解方程,發現套用公式嗰陣個開方入邊成日都有負數,甚至係連條三次方程有三個實解嗰陣啲中途步驟都會出現開方負數。
表示形式
[編輯]- 直角座標形式:
- 極座標形式:
性質
[編輯]- 0 屬於實數。
- 虛數冇咗三一律,即係冇得好似實數噉比較大細,準確嚟講,喺複數呢個集上邊唔存在一個同複數加法、乘法相容嘅全序關係。
- 共軛複數係指兩個複數嘅實部一樣,而虛部互為相反數,即係 同 ;或者半徑一樣,傾角相反,即係 同 。當一個複數 嘅時候,佢嘅共軛複數可以喺上邊加一條線,以 表示。
運算法則
[編輯]兩個複數進行運算時嘅法則如下:
- 加法:
- 減法:
- 乘法:
- 除法:(有理化分母)
- 倒數:
極座標嘅乘除比較簡單:
- 乘法:
- 除法: