Комплексен број

Еден комплексен број може да се изрази како пар броеви што образуваат вектор на Аргандов дијаграм кој ја претставува комплексната рамнина. Re = реална оска, Im = имагинарна оска, i = квадратен корен од –1.

Комплексни броеви првобитно се изрази од облик $a+bi$, каде a и $b$ се реални броеви, а $i$ еден симбол.

Собирањето, множењето и дељењето на комплексните броеви се дефинира со следните формули:

$(a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i\,$, $(a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i\,$, ${\frac {a+bi}{x+iy}}={\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}}\cdot i$

Во комплексниот број $z=a+bi$, бројот $a$ се нарекува реален дел и се пишува: $a=Re(z)$, а бројот $b$ е имагинарен дел и се пишува: $b=Im(z)$.

Комплексен број во кој реалниот дел е 0 се нарекува чисто имагинарен број.

Реалните броеви се посебен случај на комплексни броеви кај кои имагинарниот дел е еднаков на нула. Иако со комплексни броеви не се изразуваат количини како со реалните броеви, нивното воведување се користи за решавање на проблеми составени во термините на реалните броеви, како на пр. проблеми на течење на струја низ проводник, за профили на крила на авиони (користејќи Функции на Жуковски), итн.

Комплексните броеви имаат и важна улога во чисто математичките проблеми. Така на пример, наоѓањето на корен на кубна равенка побарува користење на операции над комплексни броеви. Историски, комплексните броеви се воведени за решавање на квадратни равенки. Фактот дека комплексните броеви не изразуваат количина дала повод за нивна идеалистичка интерпретација (Г. Лајбниц). Голема заслуга за материјалистичкото толкување на комплексните броеви припаѓа на Л. Ојлер. Комплексен број аксиоматски се дефинира како подреден пар реални броеви $(a,b)$. Формулите за собирање, множење и делење се постулираат вака:

$(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,$, $(a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)$, ${\frac {(a,b)}{(x,y)}}=({\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})$.

Парот $(0;1)$ се нарекува имагинарна единица и се означува со симболот $i$. Од последните формули се добива дека $i^{2}=-1$. Операциите со комплексни броеви ги задоволуваат обичните комутативни, асоцијативни и дистрибутивни закони (како и кај реалните броеви). Сепак, операциите со комплексни броеви под корени донекаде се разликуваат од аналогните операции со реални броеви. Така

$-1=i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\not ={\sqrt {(-1)(-1)}}=1$.

Тригонометриски облик

Понекогаш комплексните броеви се запишуваат во тригонометриски облик:

$a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,$,

$\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}$, за $a>0$ и $\phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}$ за $a<0$; кога $a=0$ тогаш $\phi ={\frac {\pi }{2}}$, ако е $b>0$ и $\phi =-{\frac {\pi }{2}}$, ako е $b<0$. Бројот $\rho$ се нарекува модул на комплексниот број, а $\phi$ е аргумент на комплексниот број. Множењето на комплексните броеви е многу погодно во ваков облик: се множат модулите, а аргументите се собираат. Од ова правило произлегува Моавровата формула:

$(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,$ .

Комплексните броеви често се претставуваат како вектори во комплексна рамнина (долна слика). Геометриската интерпретација на броевите $a,b,\rho ,\phi$ се гледа на цртежот. При собирање, нивните вектори се собираат по правило на паралелограм.

Должината на векторот $\rho$ е модул на комплексниот број, и тој може да се добие со помош на Питагорова теорема. Модулот го изразуваме и како апсолутна вредност, т.е. оддалеченост на бројот од центарот на координатниот систем: $|z|=\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Комплексните броеви во тригонометриски облик се тесно поврзани со експоненцијалните функции со имагинарен аргумент. Важи следната Ојлерова формула:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \,$;

со која се дефинира степенување на комплексни броеви, логаритам на комплексен број и др.

Комплексните броеви формираат алгебарско затворено поле. Полето на комплексните броеви е проширување на полето на реални броени со елементот $i$, така што $i^{2}=-1$.