無理數

無理數（英文：irrational numbers，符號 $\operatorname {I}$、$\mathbb {Q} '$或者$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$），即係唔係有理數嘅實數，唔能夠寫成兩個整數嘅比。若果將佢寫成小數形式，小數點之後嘅數字就會有無限咁多個，而且唔會循環。常見嘅無理數有大部分嘅平方根、$\pi$同$e$（其中後兩者同時係超越數）等。無理數嘅另一個特徵係無限長嘅連分數表達式。

無理數入面，唔能夠用整係數多項式方程表達嘅數叫做超越數。

傳說中，無理數最早係由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。佢用幾何方法證明${\sqrt {2}}$無辦法用整數以及分數嚟表示。而畢達哥拉斯深信任意數都可以用整數同分數嚟表示，唔相信無理數嘅存在。但係佢始終證明唔到${\sqrt {2}}$唔係無理數，後來希伯斯將無理數透露畀外人知道，佢本人因為呢次知識外泄觸犯學派章程而俾人處死，罪名等同於「瀆神」。

例子

• 開方：${\sqrt {3}}=1.73205080\cdots$
• 對數：$\log(3)=0.47712125\cdots$
• 圓周率：$\pi =3.141592653\cdots$

證明

• 證明 ${\sqrt {2}}$ 係無理數：先假設佢係有理數，就可以寫做最簡分數

${\sqrt {2}}={P \over Q}$

$2={P^{2} \over Q^{2}}$

由於 $P,Q$ 互質，所以 $P^{2},Q^{2}$ 都係互質。因為 $2$ 係整數，所以 $Q^{2}=1$

得到 $2=P^{2}$ 而 $P$ 要係整數，但冇整數嘅平方係 $2$，所以矛盾，即係假設唔成立，所以 ${\sqrt {2}}$ 係無理數。

唔知係咪無理數嘅數

對於非零整數 $m$ 及 $n$，唔知 $m\pi +ne$ 係唔係無理數。

我哋亦都唔知道 $2^{e}$, $\pi ^{e}$, $\pi ^{\sqrt {2}}$ 或者 歐拉-馬歇羅尼常數 γ 係咪無理數。

無理數集嘅特性

無理數集係不可數集（因有理數集係可數而實數集係不可數嘅）。無理數集係一個唔完備嘅拓撲空間，佢係同所有正數數列嘅集拓撲同構嘅，當中嘅同構映射係無理數嘅連分數開展。因而Baire category theorem可以應用喺無數間嘅拓撲空間上。