技術をかじる猫

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集合おさらい

勉強 日記 技術検証

このあたりの数学はどっちかと言えば概念に近い。
hatena で tex 書式使う練習がてら

基本

A = \left\{ 2, 4, 6, 8, 10 \right\} 
A = \left\{ 2, 4, 6, 8, 10 \right\}

このような範囲がはっきりしたデータの集まりを 集合 といい、個別の値を 要素 という。
集合はただのあつまりなので、順番に意味はない（配列ではない）

\left\{ 2, 4, 6, 8, 10 \right\} = \left\{ 10, 4, 2, 6, 8 \right\} 
\left\{ 2, 4, 6, 8, 10 \right\} = \left\{ 10, 4, 2, 6, 8 \right\}

また、 x が集合 X の要素であるということを以下の様に書く

x \in X 
x \in X

逆に含まれない場合は

x \notin X 
x \notin X

集合要素は無限を定義できるのでこんな感じで関数も突っ込めるし

X = \left\{ x \mid P(x) \right\}

こんな感じで定義してもいい。

E = \left\{ x \mid x は偶数 \right\} 
E = \left\{ x \mid x は偶数 \right\}

集合同士の関係

ある集合（ここではA）がもう一つの集合（B）の一部に含まれているときに、この関係を 包含関係 といい、A は B の部分集合という言い方ができる。

A \subset B 
A \subset B

ただし \subset は = の可能性もある。
他の関係としては、

  • 積集合: A, B 両方に含まれている部分的な集合
A \cap B = \left\{ x \mid x \in A かつ x \in B \right\}
  • 和集合: A, B どちらかには含まれているという集合
A \cup B = \left\{ x \mid x \in A または x \in B \right\}
  • 差集合: A の範囲ではあるが、B との共有部分は含まない集合
A - B = \left\{ x \mid x \in A かつ x \notin B \right\}

特殊な集合シリーズ

\mathbb{Z} = \left\{ x \mid x は整数 \right\} \\ \mathbb{N} = \left\{ x \mid x は自然数 \right\} = \left\{ x \mid x \in \mathbb{Z} かつ x \ge 1 \right\} \\ \mathbb{Q} = \left\{ x \mid x は有理数 \right\} = \left\{ \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z} - \left\{ 0 \right\} \right\} \\ \mathbb{R} = \left\{ x \mid x は実数 \right\} \\ \mathbb{C} = \left\{ x \mid x は複素数 \right\} = \left\{ u + v \sqrt{-1} \mid u, v \in \mathbb{R} \right\} 
\mathbb{Z} = \left\{ x \mid x は整数 \right\} \\
\mathbb{N} = \left\{ x \mid x は自然数 \right\} 
    = \left\{ x \mid x \in \mathbb{Z} かつ x \ge 1 \right\}  \\
\mathbb{Q} = \left\{ x \mid x は有理数 \right\} 
    =  \left\{ \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z} - \left\{ 0 \right\} \right\} \\
\mathbb{R} = \left\{ x \mid x は実数 \right\}  \\
\mathbb{C} = \left\{ x \mid x は複素数 \right\}
    = \left\{ u + v \sqrt{-1} \mid u, v \in \mathbb{R} \right\}

とよく使う特殊集合系。
因みに

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}