Stirlings formel

Stirlings formel är en approximation för stora fakulteter, upptäckt av Abraham de Moivre, men namngiven efter James Stirling. Den används exempelvis inom statistisk mekanik där n är av ordningen ∝10²³, men även för n ≥ 5 ger den acceptabel noggrannhet. Formeln kan skrivas

$\lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1$

vilket ofta uttrycks som

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

(Se limes, kvadratrot, π, e.) För stora n så är högerledet en god approximation för n! och går mycket snabbare och enklare att beräkna. För exempelvis 30! ger approximationen värdet 2,6451 · 10³² medan det verkliga värdet är 2,6525 · 10³².

Formeln kan även uttryckas som

$\ln n!=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+O\left({\frac {1}{n}}\right),$

eller om n >> ln n,

$\ln n!\approx n\ln n-n.$

Konsekvenser

Genom att använda Stirlings formel kan man visa att

$n^{n}\geq n!\geq \left({\frac {n}{2}}\right)^{\frac {n}{2}}.$

Konvergenshastighet och feluppskattningar

Konvergenshastigheten av ovanstående gränsvärde uttrycks med formeln

$n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+\Theta \left({\frac {1}{n}}\right)\right)$

där Θ(1/n) betecknar en funktion vars asymptotiska beteende för n→∞ motsvarar en konstant multiplicerad med 1/n; se Ordo.

Eller mer exakt:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\lambda _{n}}$

där

${\frac {1}{12n+1}}<\lambda _{n}<{\frac {1}{12n}}$

Härledning

Formeln liksom dess feluppskattning kan härledas genom följande argument. Istället för att approximera n! kan den naturliga logaritmen ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ... + ln(n) betraktas. Euler-Maclaurins formel uppskattar summor av dessa slag. Nästa steg är sedan att visa approximeringsformeln (i dess logaritmiska) form

$\ln n!\approx \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\ln n-n+\ln \left({\sqrt {2\pi }}\right).$

(En mer informell härledning baseras på att byta ut summan med en integral: $\ln(n!)=\sum _{p=1}^{n}\ln p\rightarrow \int _{1}^{n}\ln p\,dp=n\ln n-n+1$.)

Historia

Formeln upptäcktes först av Abraham de Moivre på formen

$n!\sim [{\rm {konstant}}]\cdot n^{n+1/2}e^{-n}.$

Stirlings bidrag till approximationen bestod i att visa att konstanten är ${\sqrt {2\pi }}$.

Se även

• Fakultet
• Gammafunktionen

Referenser

• Torbjörn Tambour (2003). ”Stirlings formel”. Arkiverad från originalet den 6 augusti 2004. https://web.archive.org/web/20040806035636/http://www2.math.su.se/~torbjorn/Undervisn/Stirling.pdf. 

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Stirlings formel.
  Bilder & media