Konvergens (matematik)

Konvergens är inom matematik en egenskap hos vissa följder, det vill säga sekvenser av objekt $x_{i}$. Dessa är konvergenta om de närmar sig ett fixt objekt $x$.

Med att en summa är konvergent menas att följden av dess partialsummor är konvergent.

Formellt är en följd $\{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ i ett metriskt rum X konvergent om det finns ett element x i rummet X sådant att

För varje $\epsilon >0$ så finns $N\in \mathbb {N}$ så att om $i>N$ så gäller

$d(x_{i},x)<\epsilon$.

I ett allmänt topologiskt rum X sägs följden $\{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ konvergera mot x, om det för varje omgivning U till x gäller att $X\setminus U$ endast innehåller ändligt många element från följden ovan.

Motsatsen är att följden är divergent.

I ett fullständigt metriskt rum är alla Cauchy-följder konvergenta. Stolz–Cesàros sats kan användas för att avgöra om en serie är konvergent.

Exempel

1. I R är talföljden 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... konvergent, och den konvergerar mot 0. Talföljden 1, 1+1/2, 1+1/2+1/4, ... konvergerar även den, i detta fallet mot 2.
2. I rummet av alla reella tal större än (eller lika med) 0, konvergerar följden 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... mot 0. Däremot är följden 1, 1+1/2, 1+1/2+1/3, ..., den harmoniska serien, divergent och växer mot oändligheten.

Funktionsföljder

Man kan också betrakta konvergens av en följd av funktioner $f_{n}$ definierade på något intervall, $I$, av de reella talen eller allmänt en godtycklig mängd. Man säger att $f_{n}$ konvergerar punktvis till $f$ om $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ för alla $x$ i $I$.