Hypergeometriska funktionen

Hypergeometriska funktionen ₂F₁(a,b;c;z) är en väldigt viktig speciell funktion som har flera andra speciella funktioner som specialfall.

Historia

Termen "hypergeometrisk serie" användes först av John Wallis 1655 i hans bok Arithmetica Infinitorum.

Hypergeometriska serier undersöktes av Leonhard Euler, men den första systematiska studien utfördes av Carl Friedrich Gauss 1813.

På 1800-talet undersökte även Ernst Kummer (1836) och Bernhard Riemann (1857) hypergeometriska serier. Riemann karakteriserade hypergeoemtriska funktionen med hjälp av en differentialekvation som den satisfierar.

Definition

Hypergeometriska funktionen definieras för |z| < 1 som serien

{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}.

Den är odefinierad om c är ett icke-positivt heltal. Här är (x)_n Pochhammersymbolen

(x)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\x(x+1)\cdots (x+n-1)&n>0.\end{cases}}

Specialfall

Ett stort antal matematiska funktioner kan uttryckas med hjälp av hypergeometriska funktionen. Några typiska exempel är

{\begin{aligned}\ln(1+z)&=z\,_{2}F_{1}(1,1;2;-z)\\(1-z)^{-a}&=\,_{2}F_{1}(a,1;1;z)\\\arcsin(z)&=z\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {3}{2}};z^{2}\right).\end{aligned}}

Legendrepolynomen är också specialfall:

${}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z).$

Meixner–Pollaczekpolynomen:

P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}(-n,\lambda +ix;2\lambda ;1-e^{-2i\phi }).

Flera viktiga ortogonala polynom, såsom Jacobipolynomen, kan också skrivas med hjälp av hypergeometriska funktionen:

{}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x).

Ofullständiga betafunktionen B_x(p,q):

B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)

Elliptiska integraler:

K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)

E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).

Elliptiska modulära funktioner kan ibland uttryckas som inversa funktionen till ett kvot av hypergeometriska funktioner vars argument a, b, c är 1, 1/2, 1/3, ... eller 0. Exempelvis om

\tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z\right)}{{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z\right)}}

är

z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}

en elliptisk modulär funktion av τ.

Vissa elementära funktioner är gränsvärden av hypergeometriska funktionen:

e^{x}=\lim _{n\to \infty }F(1,n;1;{x \over n})

\cos x=\lim _{a,\;b\to \infty }F\left(a,b;{\frac {1}{2}};-{\frac {x^{2}}{4ab}}\right)

\cosh x=\lim _{a,\;b\to \infty }F\left(a,b;{\frac {1}{2}};{x^{2} \over 4ab}\right)

Integralformler

Om B är betafunktionen är

\mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0

om |z| < 1 eller |z| = 1 och båda membrum konvergerar. Formeln kan bevisas genom att utveckla (1 − zx)^−a i en serie med binomialsatsen och integrera termvis. Formeln upptäcktes av Euler 1748.