Kombinácia (kombinatorika)

Kombinácia, presnejšie kombinácia k - tej triedy z n prvkov množiny M je ľubovoľná k-prvková podmnožina n-prvkovej množiny M. Počet všetkých kombinácií k-tej triedy sa teda často využíva pri riešení úloh, kde je potrebné zistiť, koľkými spôsobmi možno vybrať spomedzi n prvkov skupinu k prvkov, pričom nezáleží na poradí výberu.

Takto definované kombinácie sa niekedy tiež označujú ako kombinácie bez opakovania, keďže koncept množiny a podmnožiny neumožňuje zachytiť fenomén opakovania prvkov. Existujú však aj kombinácie s opakovaním, ktorých počet je počet možností, ako vybrať k prvkov spomedzi n tak, že sa môžu aj opakovať.

Kombinácie bez opakovania

Definícia

Kombinácie bez opakovania k-tej triedy z n prvkov množiny M je ľubovoľná k-prvková podmnožina množiny M. Z toho vyplýva, že množinu všetkých kombinácií k-tej triedy z množiny M definujeme ako podmnožinu potenčnej množiny množiny M (označujeme P(M)) takú, že obsahuje práve všetky k-prvkové množiny patriace do tejto potenčnej množiny. Takúto podmnožinu označujeme $P_{k}(M)$ . Platí teda, že množina všetkých kombinácií bez opakovania k-tej triedy z množiny M je definovaná ako:

{M \choose k}=P_{k}(M)

Počet kombinácií bez opakovania

Aj keď uvedená definícia korektne definuje kombinácie bez opakovania ako kombinatorické štruktúry, nedáva ešte žiadnu informáciu o ich počte. Preto vzorec poskytujúci túto informáciu treba dokázať ako samostatnú vetu.

Ak definujeme symbol

{n \choose k}={{\prod _{i=n-k+1}^{n}i} \over {k!}}={n! \over k!(n-k)!}

,

(tento symbol nazývame kombinačné číslo, alebo, pre súvis s binomickou vetou aj binomický koeficient) tak potom pre počet všetkých kombinácií k-tej triedy z n prvkov množiny M platí:

C_{k}(n)=\left|{M \choose k}\right|={|M| \choose k}={n \choose k}

.

Táto veta sa dokazuje s pomocou vety o počte variácií bez opakovania k-tej triedy z n prvkov množiny M. Pri dôkaze sa využíva fakt, že počet kombinácií bez opakovania je rovnaký ako počet tried ekvivalencie na množine všetkých variácií, kde dve variácie sú spolu v jednej triede práve vtedy, keď je obraz obi dvoch (variácia je špeciálny druh zobrazenia) rovnaká množina a fakt, že počet variácií v jednej takejto triede ekvivalencie je k!.

Príklad

V spoločnosti 5 osôb (a, b, c, d, e) každá osoba podá každej osobe ruku. Koľko bude podaní rúk?
Riešenie: $C_{2}(5)={\frac {5!}{(5-2)!\cdot 2!}}=10$

dvojice, ktoré si podajú ruky: ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de

Kombinácie s opakovaním

Definícia

Kombinácie s opakovaním k-tej triedy z n prvkov množiny M definujeme ako triedy ekvivalencie na množine všetkých variácií s opakovaním, kde dve variácie s opakovaním sú v relácii ekvivalencie práve vtedy, ak sa na každý prvok množiny M zobrazí v oboch variáciách rovnaký počet prvkov, t. j. ak pre variácie f, g platí:

\forall x\in M:|f^{-1}(x)|=|g^{-1}(x)|

.

Alternatívne definície využívajú napr. pojem multimnožiny.

Počet kombinácií s opakovaním

Počet všetkých kombinácií s opakovaním k-tej triedy z n prvkov množiny M je:

C_{k}^{\prime }(n)={{(n+k-1)} \choose k}

alebo

C_{k}^{\prime }(n)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k!}}

Príklad

Koľko rôznych súčinov dvoch činiteľov možno utvoriť z čísel 2, 3, 5, 7, 11?
Riešenie: $C_{2}^{\prime }(5)={\frac {(5+2-1)!}{(5-1)!\cdot 2!}}=15$

hľadané dvojice: 15

Pozri aj

Použitá literatúra

Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky, Karolinum, 2007
Martin Knor: Kombinatorika a teória grafov I, Univerzita Komenského v Bratislave, 2000
Marián Olejár a kol.: Zbierka vzorcov z matematiky, Vydavateľstvo Young Scientist