Geometrická postupnosť

Geometrická postupnosť je postupnosť nenulových čísel (väčšinou reálnych alebo komplexných), pričom hodnota n-tého člena sa rovná q-násobku predchádzajúceho člena. Číslo q, nazývajúce sa kvocient, môžeme určiť pomerom dvoch za sebou idúcich členov postupnosti. Vo všeobecnosti je geometrická postupnosť tvorená q-násobkami nenulového čísla a:

$a,\ aq,\ aq^{2},\ aq^{3},\ aq^{4},\ \ldots$

Ľubovoľný n-tý člen tejto postupnosti môžeme určiť nasledovne (ak označíme $a=a_{0}$):

$a_{n}=a_{n-1}q,$

$a_{n}=a_{0}q^{n}.$

Nekonečný súčet členov geometrickej postupnosti sa nazýva geometrický rad, ktorý v prípade absolútnej hodnoty kvocientu menšej ako 1 konverguje rovnomerne a absolútne, platí pritom

$\sum _{n=0}^{\infty }aq^{n}={\frac {a}{1-q}}.$

Vlastnosti

Uvažujme geometrickú postupnosť s nenulovým počiatočným členom $a_{0}=a$ a takým kvocientom $q$, ktorý nie je rovný nule ani jednotke. Potom pre ľubovoľný n-tý člen (kde n je prirodzené číslo alebo nula), ktorý vo všeobecnosti môže byť komplexným číslom, platí:

1. $a_{n}=a_{n-1}q\ ,$ pre $n>0;$
2. $a_{n}=a_{0}q^{n};$
3. $a_{n}=a_{m}q^{n-m};$
4. $a_{n}={\frac {a_{n-1}^{2}}{a_{n-2}}},$ pre $n>1;$
5. $\sum _{n=0}^{k}a_{n}=\sum _{n=0}^{k}aq^{n}=a{\frac {q^{k+1}-1}{q-1}}.$

Dôkaz

Prvá vlastnosť je len definícia geometrickej postupnosti. Pri dôkazoch ostatných vlastností budeme využívať dôkaz matematickou indukciou.

Dôkaz druhej vlastnosti

Dokážme druhú vlastnosť pomocou matematickej indukcie. Pre $n=0$ platí

$a_{0}q^{0}=a_{0}=a.$

Vezmime ďalej $n=k+1$ a predpokladajme, že tvrdenie pre $n=k$ platí, potom

$a_{0}q^{k+1}=a_{0}q^{k}q=a_{k}q=a_{k+1},$

čo sme chceli ukázať.

Dôkaz tretej vlastnosti

Pri dôkaze tretej vlastnosti postupujeme obdobne. Vezmime $m$ ľubovoľné, ale fixné prirodzené číslo. Potom pre $n=0$ máme

$a_{m}q^{0-m}={\frac {a_{0}q^{m}}{q^{m}}}=a_{0}.$

Pre $n=k+1$ za predpokladu pravdivosti pre $n=k$ máme

$a_{m}q^{k+1-m}=a_{m}q^{k-m}q=a_{k}q=a_{k+1}.$

Dôkaz štvrtej vlastnosti

V súlade s dôkazom matematickou indukciou ukážeme najprv platnosť pre $n=2$:

${\frac {a_{1}^{2}}{a_{0}}}={\frac {(a_{0}q)^{2}}{a_{0}}}=a_{0}q^{2}=a_{2}.$

Vezmime teraz $n=k+1$ a predpokladajme platnosť pre $n=k$:

${\frac {a_{k}^{2}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{0}^{2}q^{2k}}{a_{0}q^{k-1}}}=a_{0}q^{2k-k+1}=a_{0}q^{k+1}=a_{k+1}.$

Dôkaz piatej vlastnosti

Položme $n=0$, tvrdenie je potom triviálne pravdivé. Nech teraz tvrdenie pre $n=k$ platí a dokážme pravdivosť pre $n=k+1$ :

$\sum _{n=0}^{k+1}a_{n}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}+a_{k+1}=a{\frac {q^{k+1}-1}{q-1}}+aq^{k+1}=a{\frac {q^{k+1}-1+q^{k+2}-q^{k+1}}{q-1}}=a{\frac {q^{k+2}-1}{q-1}}.$

Geometrický rad

Definícia a konvergencia geometrického radu

Nech máme postupnosť $\{s_{k}\}$ čiastkových súčtov geometrickej postupnosti $\{a_{n}\}$ s kvocientom $q$ takým, že $|q|<1$, pričom$s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}$. Vo všeobecnosti považujme členy postupnosti a kvocient za komplexné čísla. Potom platí, že postupnosť $\{s_{k}\}$ je konvergentná a navyše

$\lim _{k\to \infty }s_{k}={\frac {a_{0}}{1-q}}.$

Túto limitu nazývame geometrickým radom. Platí teda

$\lim _{k\to \infty }\sum _{n=0}^{k}a_{n}:=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}={\frac {a_{0}}{1-q}}.$

Dôkaz konvergencie

Čiastkový súčet $s_{k}$ môžeme na základe piatej vlastnosti z predchádzajúcej časti napísať ako

$s_{k}=a_{0}{\frac {q^{k+1}-1}{q-1}}.$

Vypočítajme limitu čiastkových súčtov

$\lim _{k\to \infty }s_{k}=\lim _{k\to \infty }a_{0}{\frac {q^{k+1}-1}{q-1}}={\frac {-a_{0}}{q-1}}={\frac {a_{0}}{1-q}},$

nakoľko $\lim _{k\to \infty }q^{k}=0$ platí pre komplexné $q$ s absolútnou hodnotou menšou ako 1.

Rovnomerná a absolútna konvergencia geometrického radu

Nech $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ je geometrický rad s kvocientom $q$, pričom $|q|<1$ a nech všetky uvažované čísla sú komplexné. Potom rad $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konverguje absolútne na otvorenom kruhu v Gaussovej komplexnej rovine s polomerom 1 a rovnomerne vzhľadom na $q$ na každom uzavretom kruhu s polomerom menším ako $1$.

Pozri aj

• aritmetická postupnosť