Geometrijska progresija

Dijagram koji pokazuje geometrijski red 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... koji konvergira u 2.

U matematici, geometrijska progresija, ili geometrijski niz, je niz brojeva gdje se svaki član, nakon prvog, pronalazi množenjem prethodnog sa nekim fiksnim brojem, različitim od nule, koji se naziva zajednički omjer. Naprimjer, niz 2, 6, 18, 54, ... je geometrijska progresija sa zajedničkim omjerom 3. Slično tome, 10, 5, 2,5, 1,25, ... je geometrijski niz sa zajedničkim omjerom 1/2. Suma članova geometrijske progresije poznata je pod nazivom geometrijski red.

Tako je opći oblik geometrijskog niza

$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots$

a od geometrijskog reda

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots$

gdje je r ≠ 0 zajednički omjer, a a je faktor razmjere, jednak početnoj vrijednosti niza (prvi član).

Elementarne osobine

n-ti član geometrijskog niza sa početnom vrijednosti $a_{1}$ i zajedničkim omjerom r je dat sa

$a_{n}=a_{1}\,r^{n-1}$

Takav geometrijski niz, također, prati povratnu relaciju

$a_{n}=r\,a_{n-1}$ za svaki cijeli broj $n\geq 1$

Općenito, da bi provjerili da li dati niz geometrijski, jednostavno se provjeri da li je količnik susjednih članova uvijek isti broj.

Zajednički omjer geometrijskom reda može biti negativan, kada dobijamo alternativni niz, gdje brojevi naizmenično mijenjaju znak (+ ili -). Naprimjer

1, -3, 9, -27, 81, -243, ...

je geometrijski niz sa zajedničkim omjerom -3.

Suma prvih n elemenata geometrijskog niza dana je s

$S_{n}=a_{1}{\frac {1-r^{n}}{1-r}}$

Ponašanje geometrijskog niza zavisi od vrijednosti zajedničkog omjera.
Ako je zajednički omjer:

• pozitivan, svi članovi će imati isti znak kao što je kod početnog člana.
• negativan, članovi će mijenjati znak iz pozitivnog u negativni, naizmjenično.
• veći od 1, imat ćemo eksponencijalni rast prema pozitivnoj beskonačnosti.
• 1, progresija je kada konstantan niz, tj. svi članovi su isti (1, 1, 1, 1, 1, ...).
• između -1 i 1, ali ne nula, imat ćemo eksponencijalni pad prema nuli.
• −1, progresija je alternativni niz (pogledajte članak alternativni red)
• manji od −1, za apsolutne vrijednosti imamo eksponencijalni rast prema beskonačnosti.

Geometrijski nizovi (sa zajedničkim omjerom različitim od -1,1 ili 0) pokazuju eksponencijalni rast ili eksponencijalni pad, nasuprot linearnom rastu (ili padu) aritmetičke progresije kao što je 4, 15, 26, 37, 48, ... (za zajedničkom razlikome 11). Ovaj rezultat uzet je od strane T. R. Malthusa kao matematičku osnovu za njegov Princip polulacije.

Geometrijski red

Geomtrijski red je suma brojeva u geometrjskoj progresiji:

$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,$

Moguće je pronaći jednostavniju formulu za ovu sumu ako obje strane gornje jednačine pomnožimo sa $(1-r)$, nakon čega ćemo uočiti da je

$(1-r)\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a-ar^{n+1}\,$

pošto se svi ostali članovi ponište. Premiještanje članova (za $r\neq 1$) daje nam zgodnu formulu za geometrijski red:

$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}$

Napomena: Ako bi počeli sumirati ne od 0, nego od nekog većeg člana, recimo m, tada bi imali

$\sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}$

Diferencirajući ovu formulu po r dozvoljava nam da dobijemo formulu za sumu u obliku

$\sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}$

Na primjer:

${\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=0}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}$

Za geometrijski red koji sadrži samo parne stepene od $r$pomnožene sa by $(1-r^{2})$:

$(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}$

Tada je

$\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}$

Za red samo neparnim stepenima od $r$

$(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}$

i

$\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}$

Beskonačni geometrijski red

Beskonačni geometrijski red je beskonačni red čiji susjedni članovi ima zajednički omjer. Takvi redovi konvergiraju ako i samo ako je apsolutna vrijednost zajedničkog omjera manja od jedan ( | r | < 1 ). Njegova vrijednost tada može izračunati preko formule za konačnu sumu

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}$

Pošto je:

$r^{\infty }=0$ (kada | r |<1).

tada je:

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}$

Na primjer, koristeći brojne vrijednosti

$\sum _{k=0}^{\infty }(191)\left({\frac {6}{7}}\right)^{k}={\frac {191}{1-{\frac {6}{7}}}}=1337$

Za red koji sadrži samo parne stepene od $r$,

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}$

a za samo neparne stepene,

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}$

U slučajevima gdje suma ne počinje od k = 0,

$\sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}$

Gornje formule važe samo za | r | < 1. Naredna formula, ustvari, važi za svaku Banachovu algebru, sve dok je r manje od jedan, te, također, u polju p-adičnih brojeva ako je | r |_p < 1. Kao u slučaju konačnih suma, možemo je diferencirati kako bi dobili formule za srodne sume. Na primjer,

${\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}$

Ova formula također važi samo za | r | < 1 . Iz ovoga dalje, slijedi da je, za | r | < 1,

$\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}r^{k}={\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}r^{k}={\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}$

Također, beskonačni red 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · je elementarni primjer reda koji konvergira apsolutno.

To je geometrijski red čiji je prvi član 1/2, te čiji je zajednički omjer 1/2, tako da je njegova suma

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(+1/2)}}=1.$

Inverzni oblik gornjeg reda 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · je jednostavan primjer alternativnog reda koji konvergira apsolutno.

To je geometrijski red čiji je prvi član 1/2, te čiji je zajednički omjer −1/2, tako da je njegova suma

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.$

Kompleksni brojevi

Formula za sumiranje geometrijskog reda važi čak i kada je zajednički omjer kompleksan broj. Ova činjenica može se iskoristita za izračunavanje nekih suma "neočitih" geometrijskih redova, kao što je:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}$

Dokaz za ovu formulu počinje sa

$\sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}}$

posljedicom Eulerove formule. Uvrštavanjem ove činjenice u gornji red, dobijamo

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]$.

Ovo predstavlja samo razliku između dva geometrijska reda. Odavde slijedi direktna primjena naše formule za beskonačne geometrijske redove, što zaključuje ovaj dokaz.

Proizvod

Proizvod geometrijske progresije je prouzvod svih članova. Ako su svi članovi pozitivni, tada je moguće brzo izračunati proizvod uzimajući geometrijsku sredinu prvog i posljednjeg člana progresije, te stavljajući tu sredinu na stepen broja članova. (Ovo je veoma slično formuli za sumu članova aritmetičkog niza: uzmete aritmetičku sredinu prvog i posljednjeg člana i pomnožite je sa brojem članova.)

$\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=\left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n+1}}}\right)^{n+1}$ (if $a,r>0$).

Dokaz

Neka je proizvod predstavljen sa P:

$P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}$.

Sada, izvodeći množenje, zaključujemo da je

$P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}$.

Primjenljujući sumu aritmetičkog reda, izraz će glasiti

$P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}$.

$P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}$.

Podižemo obe strane na stepen od 2:

$P^{2}=(a^{2}r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^{n})^{n+1}$.

Slijedi da je

$P^{2}=(a_{1}\cdot a_{n+1})^{n+1}$ i

$P=(a_{1}\cdot a_{n+1})^{\frac {n+1}{2}}$,

što dokazuje tvrdnju.

Također polgedajte

• Aritmetička progresija
• Eksponencijalna funkcija
• Harmonijski red
• Beskonačni red
• Thomas Robert Malthus
• Hackenbush

Povezano

• Aritmetička progresija
• Eksponencijalna funkcija
• Harmonijski red (matematika)
• Red (matematika)

Vanjski linkovi

• Kalkulator geometrijske progresije Arhivirano 2008-12-27 na Wayback Machine-u

Reference

• Hall & Knight, Higher Algebra, p. 39, ISBN 81-8116-000-2