Geometrinen sarja

Kuvasta nähdään, että geometrinen sarja 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... suppenee kohti lukua 2.

Matematiikassa geometrisella sarjalla tarkoitetaan sarjaa, jossa kahden peräkkäisen termin suhde on vakio. Jos tämä vakio on q ja sarjan ensimmäinen termi on a, sarjan n:s termi on aq^n-1. Tällöin sarjaa merkitään

$\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}=aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}+\cdots$

Sarja suppenee, kun −1 < q < 1, ja tällöin sen summaksi saadaan

$\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}.$

Osasummille on voimassa

$\sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}},$ kun $q\neq 1.$

$\sum _{k=m}^{n-1}aq^{k}=a\cdot {\frac {q^{m}-q^{n}}{1-q}},$ kun $q\neq 1.$

Todistus osasumman kaavalle:

Olkoon n määrä sarjan termejä seuraavasti: $aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}$

Merkitään osasummaa seuraavasti $S=:aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}\Rightarrow$

$qS=aq^{1}+aq^{2}+aq^{3}+\cdots +aq^{n}\Rightarrow$

$S-qS=a-aq^{n}\Rightarrow$

$S=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$

Geometrisen sarjan avulla voidaan muuttaa päättymätön jaksollinen desimaaliluku murtoluvuksi.

Katso myös

• Aritmeettinen sarja

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).