Inducție matematică

Inducţia matematică poate fi asemănată efectului căderii pieselor de domino.

Inducția matematică („raționamentul prin recurență” sau „inducția completă infinită”) este o modalitate de demonstrație utilizată în matematică pentru a stabili dacă o anumită propoziție este valabilă pentru un număr nelimitat de cazuri, contorul cazurilor parcurgând toate numerele naturale.

Istoric

Primele semne de utilizare a acestei metode pot fi găsite în demonstrația lui Euclid care încearcă să arate că numărul numerelor prime este infinit.

În cadrul matematicii indiene, o metodă similară se găsește la matematicianul Bhaskara, așa-numita metodă chakravala.

În jurul anului 1000 d.Hr., se regăsește, la matematicianul persan Al-Karaji (c. 953 - c. 1029), aplicarea metodei inducției la determinarea coeficienților binomiali (la ceea ce mai târziu avea să se numească binomul lui Newton), la studiul triunghiului lui Pascal.

Matematicianul islamic Ibn Al-Haytham (965 - 1039) aplică această metodă la calculul unor puteri cu exponent număr întreg.

Musulmanul Al-Maghribī al-Samaw'al (c. 1130 - c. 1180) utilizează inducția, într-o formă asemănătoare celei moderne, ducând mai departe studiile lui Al-Karaji privind triunghiul lui Pascal.

Prima expunere cu adevărat riguroasă a principiului inducției apare la matematicianul italian Francesco Maurolico (1494 - 1575). Acesta, în lucrarea Arithmeticorum libri duo (1575), demonstrează că suma primelor n numere impare este n².

Principiul inducției complete a fost descoperit și de Jakob Bernoulli (1713), Pascal (1653) și Fermat.

Descriere

Demonstrația prin inducție că propoziția $P(n)\,$ pentru orice $n\in \mathbb {N}$ se compune din doi pași:

1. Cazul inițial: demonstrarea faptului că propoziția este valabilă pentru $n=0\,$ .
2. Pasul de inducție: Se dovedește că, pentru orice $n\,$ natural, $P(n)\,$ implică $P(n+1)\,$.

Exemple

Exemplul 1

Să demonstrăm formula utilizată pentru suma primelor n numere naturale:

$1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

• Inițializare:

pentru  $n=1\,$   avem:   $1={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1$ .

Formula este verificată în cazul inițial.

• Iterare:

Trebuie să arătăm că, dacă formula este valabilă pentru $n=m\,$ , atunci este valabilă și pentru   $n=m+1\,$.

Să presupunem formula valabilă pentru $n=m\,$ :

$1+2+\cdots +m={\frac {m(m+1)}{2}}$ .

Adăugând la ambii membri $m+1\,$ , obținem:

$1+2+\cdots +m+(m+1)={\frac {m(m+1)}{2}}+(m+1)$ .

Calculând, obținem:

$1+2+\cdots +(m+1)={\frac {(m+1)(m+2)}{2}}$.

Astfel am arătat că:

$P(m)\Longrightarrow P(m+1)$ .

Exemplul 2

Să calculăm suma primelor numere impare:

$1=1\,$

$1+3=4\,$

$1+3+5=9\,$

$1+3+5+7=16\,$.

$1+3+5+7+9=25\,$.

Ajungem la presupunerea: Suma primelor numere impare, de la 1 până la $2n-1\,$ este $n^{2}\,$,   adică:

$\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}$ .

Pentru a dovedi acest lucru prin metoda inducției complete, trebuie să demonstrăm că:

1. $\sum _{i=1}^{1}(2i-1)=1^{2}$

2. Dacă $\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}$ , atunci $\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)=(n+1)^{2}$.

Primul punct e simplu de dovedit. Pentru cel de-al doilea folosim identitățile:

$\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)\;+\;\;(2(n+1)-1)=n^{2}+2(n+1)-1=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}$ .

Vezi și

• Binomul lui Newton
• Șirul lui Fibonacci
• Inegalitatea lui Jensen
• Factorial

Legături externe

• en Metoda inducției la Wolfram MathWorld.
• en Inducția la Cut-the-Knot.
• fr Fabio Acerbi (2000) A Proof by Complete Induction Arhivat în 26 noiembrie 2006, la Wayback Machine., Archive for History of Exact Sciences
• de Inducție completă
• ro Exemple de exerciții rezolvate.