るくすの日記 ~ Out_Of_Range ~

主にプログラミング関係

ζ(4)の計算

数学 解析学

たまには数学関係の事でも書こうかな～。

しかしダラダラと定義やら証明やらを書き連ねるのも面倒なので、比較的簡単な計算問題について書きます。
今回はζ(4)の計算。

ゼータ関数とは

\zeta (n)=\sum^{\infty}_{x=1} \frac{1}{x^n}

で表される関数ζのことです。

つまりζ(4)は

\zeta (4)=\sum^{\infty}_{x=1} \frac{1}{x^4}

で表される級数の事です。


では収束値を計算してみます。
計算にはフーリエ解析を用います。

まず以下のような関数を考えます。

f(x)=x^2 (\pi \leq x < \pi)

次にこの関数のフーリエ係数を求めます。(計算過程は端折ります)

a_{0}=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2dx=\frac{2}{3}\pi^2

a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2cosnxdx=(-1)^n\frac{4}{n^2}

b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2sinnxdx=0

また、パーセバルの等式

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx =\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)

に上で求めたフーリエ係数を代入すると

\frac{\pi^4}{5}=\frac{\pi^4}{9}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8}{n^4}

が得られます。

上式を整理すると

\sum^{\infty}_{x=1} \frac{1}{x^4}=\frac{\pi^4}{90}
が求まります。

やったね