Problema de Suslin

Em matemática, o Problema de Suslin é uma questão referente a conjuntos totalmente ordenados enunciada por Mikhail Yakovlevich Suslin em 1920.^[1] Solovay e Tennenbaum demonstraram que o Problema de Suslin não pode ser decidido na base dos axiomas de ZFC^[2]

(Suslin também é escrito Souslin, a transliteração francesa do cirílico Суслин.)

Enunciado

Dado um conjunto totalmente ordenado e não vazio R com as seguintes propriedades:

R não tem máximo nem mínimo.
a ordem de R é densa (entre dois elementos, sempre tem um outro).
a ordem de R é completa, (todo subconjunto não vazio limitado tem um supremo e um ínfimo).
toda coleção de intervalos abertos, disjuntos dois a dois, em R é enumerável (o que é chamado "condição de cadeia enumerável", ccc em inglês).

é R necessariamente isomorfo (segundo a ordem) ao conjunto dos números reais?

A Hipótese de Suslin é a resposta afirmativa a essa questão. De maneira equivalente, a Hipótese de Suslin pode ser enunciada como: "toda árvore de tamanho ω₁ ou bem tem um ramo de altura ω₁, ou bem tem uma anti-cadeia de cardinalidade ω₁.

Se a condição de cadeia enumerável é substituída pela condição "R contém um subconjunto enumerável denso", então pode ser demonstrado que R é isomorfo ao conjunto dos números reais. Na teoria dos corpos ordenados essa condição implica que o corpo é arquimediano.

A Hipótese generalizada de Suslin afirma que para todo cardinal infinito regular κ, toda árvore de altura κ ou bem tem um ramo de comprimento κ, ou bem tem uma anti-cadeia de cardinal κ.

Consequências

A Hipótese de Suslin é independente em ZFC, pois não pode ser demonstrada nem refutada se os axiomas de ZFC são consistentes. Além disso, é independente tanto da Hipótese do Contínuo Generalizada como de sua negação. Entretanto, o Axioma de Martin mais a Hipótese do Contínuo implicam a Hipótese de Suslin. Uma consequência do chamado "Princípio Diamante, de Jensen" [utilizado na Teoria combinatória dos Conjuntos] é a negação da Hipótese de Souslin.

Ver também

Referências

↑ Souslin, M. (1920). «Problème 3». Fundamenta Mathematicae. 1. 223 páginas
↑ Solovay, R. M.; Tennenbaum, S. (1971). «Iterated Cohen extensions and Souslin's problem». Annals of Mathematics. Ann. Of Math. (2). 94 (2): 201–245. doi:10.2307/1970860

Bibliografia

Kenneth Kunen, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

[1] Souslin, M. (1920). «Problème 3». Fundamenta Mathematicae. 1. 223 páginas

[2] Solovay, R. M.; Tennenbaum, S. (1971). «Iterated Cohen extensions and Souslin's problem». Annals of Mathematics. Ann. Of Math. (2). 94 (2): 201–245. doi:10.2307/1970860

[1]

[2]

v d e Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
Operações	Produto cartesiano Teoremas de De Morgan Interseção Conjunto de partes Complementar Diferença simétrica União
Conceitos	Cardinalidade Número cardinal Classe Universo construível Elemento Família Função bijectiva Número ordinal Indução transfinita Diagrama de Venn
Conjuntos	Argumento de diagonalização de Cantor Conjunto contável Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto difuso Conjunto hereditariamente finito Conjunto infinito Conjunto recursivo Subconjunto Conjunto transitivo Conjunto não enumerável Conjunto universo
Teorias	Teoria axiomática dos conjuntos Teorema de Cantor Forçamento Teoria de conjuntos de Morse–Kelley Teoria ingênua dos conjuntos New Foundations Paradoxos Principia mathematica Paradoxo de Russell Problema de Suslin NBG Teoria de conjuntos de Zermelo ZFC Teorias de conjuntos alternativas
Pessoas	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Lotfali Askar-Zadeh Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Willard Quine