Ideal i matematikk

I ringteori, ein del av abstrakt algebra, er eit ideal ein spesiell delmengd av ein ring. Idealkonseptet generaliserer på passande vis viktige eigenskapar ved heiltal, som «liketal» og «multipla av 3»

Til dømes reknar ein i ringar primideal i staden for primtal, og ein kan bevise ei generalisert utgåve av den kinesiske restklassesetninga om ideal.

Eit ideal kan nyttast til å konstruere ein kvotientring på same måte, som ei normal undergruppe i gruppeteori kan nyttast til konstruksjon av ei kvotientgruppe.

Historie

Ideala vart først nytta av Richard Dedekind i 1876 i den tredje utgåva av boka hans Vorlesungen über Zahlentheorie (på norsk: Førelesningar om talteori.) Dei var ei generalisering av idealtala, som vart utvikla av Ernst Kummer. Seinare vart omgrepet utvida av David Hilbert og særleg Emmy Noether.

Definisjonar

La R vere ein ring, der + er operatoren i den abelske gruppa til ringen. Ei delmengd I av R vert kalla eit høgreideal om

• (I, +) er ei undergruppe av (R, +)
• xr er ein del av I for alle x i I og alle r i R

og eit venstreideal om

• (I, +) er ei undergruppe av (R, +)
• rx er ein del av I for alle x i I og alle r i R

Venstreideala i R er nøyaktig høgreideala i den ringen R^o, som kjem fram ved å snu multiplikasjonsoperasjonen i R, og på same måte er høyreideale nøyaktig venstreideala i R^o. Når R er ein kommutativ ring, fell høgreideal og venstreideala saman, og det tosida idealet vert berre kalla eit ideal. For at halde definisjonane kortare, ser ein her berre på kommutative ringar.

I vert kalla eit ekte ideal om han er ei ekte delmengd av R; det vil sei at I er forskjellig frå R.

Om A er ei vilkårleg delmengd av ringen R, kan ein definere idealet frambrakt av A til å vere det minste idealet av R, som inneheld alle element i A; han vert skriven 〈A〉 eller (A) og inneheld alle endelege summar på forma

r₁a₁s₁ + ··· + r_na_ns_n,

der kvar r_i og s_i er ein del av R og alle a_i er ein del av A. Idealet vert sagt å vere endeleg frambrakt, om den frambringande mengda A er endeleg, og eit kvart element x ∈ I kan skrivast

$x=\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k},$

der a_k ∈ A og {r_k | k = 1, ..., n} er ei endeleg delmengd av R.

Døme

• Dei like heiltal dannar eit ideal i ringen Z av alle heiltal; han vert typisk skriven 2Z. Det er eit resultat av, at summen av to like heiltal er like, og at produktet av eit likt heiltal og eit kva som helst anna heiltal òg er likt.
• I ringen Z er alle ideal frambrakt av eit enkelt tal (så Z vert kalla eit hovudidealområde,) og idealet bestemmer talet opp til forteikn. Konsepta om «ideal» og «tal» er derfor nesten identiske i Z (og eit kva som helst anna hovudidealområde.)
• Mengda av alle polynom med reelle koeffisientar, som går opp i polynomet x² + 1 er eit ideal i ringen av alle polynom.
• Mengda av alle n-gange-n-matriser, der den siste kolonnen er null, dannar eit venstreideal i ringen av alle n-gange-n-matriser. Det er ikkje eit høgreideal. Mengda av alle n-gange-n-matriser, der siste rekke er null, dannar eit høgreideal, men ikkje eit venstreideal.
• Ringen C(R) av alle kontinuerlege funksjonar f frå R til R inneheld eit ideal av alle kontinuerlege funksjonar f, så f(1) = 0. Eit anna ideal i C(R) er gjeven ved dei funksjonane der det finst eit reelt tal L > 0, så f(x) = 0 for |x| > L.
• {0} og R er ideal i alle ringar R. Om R er kommutativ, er R ein lekam visst og berre visst han har nøyaktig to ideal, {0} og R.

Idealtypar

Ideal er viktige fordi dei opptrer som kjernen i ringhomomorfiar og tillet at ein kan definere ein kvotientring. Forskjellige idealtypar vert berekna, fordi dei kan nyttast il å konstruere forskjellige kvotientringar.

• Maksimalt ideal: Eit ekte ideal I vart kalla eit maksimalt ideal, om det ikkje finst eit anna ekte ideal J, så I er ei delmengd av J. Kvotientringen av eit maksimalt ideal er ein lekam.
• Primideal: Eit ekte ideal I vert kalla eit primideal i R, om det for alle a og b i R gjeld, at om ab er ein del av i, så er anten a eller b ein del av I. Kvotientringen av eit primideal er eit integritetsområde.
• Hovudideal: Eit ideal I vert kalla eit hovudideal i R, om det finst eit d ∈ R, så I = 〈d〉 - dvs. at idealet er frambrakt av eit enkelt element.

Nokre grunnleggande eigenskapar

• Eit ideal er ekte visst og berre visst det multiplikative nøytrale elementet, 1, ikkje er ein del av idealet.
• Dei ekte ideala kan partielt ordnast med delmengdeinklusjon, og som eit resultat av Zorns lemma gjeld, at kvart ideal er ein del av eit hovudideal.
• Då 0 er ein del av eit ideal, er eit ideal ei ikkje-tom mengd.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Ideal (ringteori)» frå Wikipedia på dansk, den 11. september 2011.