Opphopningspunkt

Et opphopningspunkt (akkumuleringspunkt, grensepunkt) er i matematikk et element i en mengde som har uendelig mange andre elementer i en mengde nær seg. Et opphopningspunkt kan dermed tilnærmes med andre elementer i mengden, og et opphopningspunkt kan betraktes som en generalisering av en grenseverdi.

I en formell matematisk definisjon må en presisere hva en mener med «nær» og «tilnærme». Dette lar seg gjøre i et metrisk rom, der en har definert et avstandsmål, en metrikk. Opphopningspunkt er også grunnleggende i topologi.

Et opphopningspunkt til en delmengde trenger ikke selv være et element i mengden, men det eksisterer da uendelig mange elementer i delmengden nær punktet. Prosessen å utvide en mengde S til å inneholde alle sine opphopningspunkter kalles en tillukning av S og skrives cl(S), Cl(S), $\scriptstyle {\bar {S}}$ eller S$^{-}$. En mengde som inneholder alle sine opphopningspunkter kalles lukket, og for slike mengder er cl(S) = S.

Formell definisjon

Både for metriske rom og for topologiske rom defineres opphopningspunkt formelt ved hjelp av begrepet omegn:

Et element p i mengden V er et opphopningspunkt for delmengden W i V dersom en hver punktert omegn om p inneholder et element q i fra W.

Et element som ligger i W og som ikke er et opphopningspunkt for W, kalles for et isolert punkt.

Bolzano-Weierstrass’ teorem

Bolzano-Weierstrass' teorem kan for reelle tall formuleres som at hver begrenset uendelig mengde av reelle tall har minst ett opphopningspunkt. Satsen gjelder også i et generelt euklidsk rom.

Teoremet er navnsatt etter Bernhard Bolzano (1781-1848) og Karl Weierstrass (1815-1897).

Opphopningspunkt og topologi

En mengde S har en topologi (er topologisert) dersom det for et hvert element p i S er mulig å svare på spørsmålet Er p et opphopningspunkt i S? Som definisjon er denne imidlertid for generell til å være praktisk, fordi den ikke stiller krav til egenskapene til opphopningspunkt. Det er for eksempel mulig for en gitt mengde å alltid svare «ja», slik at et hvert element i mengden er et opphopningspunkt. Det er også mulig å alltid svare «nei», slik at mengden ikke har noen opphopningspunkter. Denne siste topologien kalles den diskrete topologien. For å få et mer brukbart utgangspunkt defineres topologi som regel ved hjelp av begrepet åpne mengder.

En homeomorfi er en bijektiv transformasjon f mellom to topologiserte mengder S og V, der transformasjonen har egenskapen at f(p) er et opphopningspunkt i V hvis og bare hvis p er et opphopningspunkt i S. Dersom det er mulig å definere en homeomorfi mellom to mengder, så vil de ha de samme topologiske egenskapene.