نقطه حدی

در ریاضیات، نقطهٔ انباشتگی یا نقطهٔ حدیِ مجموعهٔ S در فضای توپولوژیک X، نقطه‌ای مانند x (درون فضای X و نه لزوماً مجموعهٔ S) است که هر همسایگی آن، شامل نقطه‌ای از S غیر از x باشد یا S را در نقطه‌ای بجز x قطع کند. توجه شود که در این تعریف همسایگی دلخواه نقطه حدی باید محذوف باشد (یعنی شامل خود نقطه x نباشد) همچنین نقطه حدی می‌تواند عضو مجموعه S باشد یا نباشد و این موضوع در تعریف مذکور تأثیری ندارد. مجموعهٔ نقاط حدی S را با ^'S نشان می‌دهیم و به آن مجموعهٔ مشتق S می‌گوییم.

نقطهٔ حدی در تعریف مفاهیمی چون حد، بستار و مجموعه بسته پدیدار می‌گردد.

نگاره نقاط دنباله

xn = (-۱)n·.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}n/n+۱

از اعداد گویا را نشان می‌دهد. ۱ و ۱- نقاط حدی آن هستند.

مثال‌ها

با در نظر گرفتن خط حقیقی $\mathbb {R}$ ، اگر $A = (۰٬۱]$ آنگاه نقطهٔ ۰ یک نقطهٔ حدی A است. همچنین ۱/۲ نیز نقطه حدی دیگر آن است. در واقع هر نقطهٔ بازهٔ $[۰٬۱]$ یک نقطه حدی A است؛ ولی هیچ عضو دیگر $\mathbb {R}$ نقطه حدی A نیست.^[۱]
یک مجموعه متناهی دارای نقطه حدی نیست.^[۲]
مجموعه نامتناهی $\mathbb {N}$ (مجموعه اعداد طبیعی) نقطه حدی ندارد.^[۳]
تنها نقطه حدی مجموعهٔ $A=\left\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}$ نقطهٔ ۰ است. هیچ‌یک از نقاط دیگر A نقطهٔ حدی آن نیست.^[۴]

قضیه‌ها

فرض کنید (M,d) یک فضای متریک باشد، A ⊆ M و p ∈ M آن‌گاه احکام زیر معادلند:

1. p یک نقطه حدی A است.
2. هر همسایگی p شامل تعدادی نامتناهی نقطه از A است.
3. دنباله‌ای مانند (x_n) از نقاط A وجود دارد که همواره x_n ≠ p ولی $\lim _{n\to \infty }x_{n}=p$ .^[۵]

دانستنی‌ها

نقطهٔ p در فضای متری X را یک نقطهٔ تراکم مجموعهٔ E ⊂ X نامند هرگاه هر همسایگی p تعداد شمارش ناپذیری نقطه از E را داشته باشد. نقطه تراکم نوع خاصی از نقطه حدی است.^[۶]
هرگاه p ∈ S و p نقطهٔ حدی S نباشد، آنگاه p یک نقطهٔ تنهای S نام دارد.
S بسته است هرگاه هر نقطهٔ حدی S یک نقطه از S باشد.^[۷]
S کامل است هرگاه S بسته و هر نقطهٔ آن یک نقطه حدی آن باشد.^[۸]

پانویس

↑ مانکرز، توپولوژی، نخستین درس، ۱۲۶.
↑ بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۲۴.
↑ بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۲۴.
↑ بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۲۴.
↑ مدقالچی، آنالیز ریاضی ۱، ۱۱۱.
↑ رودین، اصول آنالیز ریاضی، ۵۸.
↑ رودین، اصول آنالیز ریاضی، ۴۰.
↑ رودین، اصول آنالیز ریاضی، ۴۰.

منابع

بارتل، رابرت ج.؛ شربرت، دانلد ر. (۱۳۷۸). آشنایی با آنالیز حقیقی. ترجمهٔ طاهر قاسمی هنری و حکیمه ماهیار. تهران: فاطمی. شابک ۹۶۴-۴۸۶-۰۹۰-X.
رودین، والتر (۱۳۸۵). اصول آنالیز ریاضی. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: انتشارات علمی و فنی. شابک ۹۶۴-۶۲۱۵-۰۰-۹.
مانکرز، جیمز ر. (۱۳۸۹). توپولوژی، نخستین درس. ترجمهٔ جواد لالی و دیگران. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۰۲۸۳-۱.
مدقالچی، علیرضا (۱۳۸۸). آنالیز ریاضی ۱. تهران: دانشگاه پیام نور. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵.

[1] مانکرز، توپولوژی، نخستین درس، ۱۲۶.

[2] بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۲۴.

[3] بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۲۴.

[4] بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۲۴.

[5] مدقالچی، آنالیز ریاضی ۱، ۱۱۱.

[6] رودین، اصول آنالیز ریاضی، ۵۸.

[7] رودین، اصول آنالیز ریاضی، ۴۰.

[8] رودین، اصول آنالیز ریاضی، ۴۰.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]