Punkt skupienia zbioru

Punkt skupienia zbioru – dla danego zbioru $A$ przestrzeni topologicznej T1 taki punkt $p,$ dla którego dowolny zbiór otwarty zawierający $p$ zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru $A$ różny od $p,$ tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu $p$ ze zbiorem $A$ jest niepusty.

Punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru^[1].

Własności

Punkt $p$ jest punktem skupienia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy należy do domknięcia zbioru $A\setminus \{p\}$ ^[1].

W przestrzeni metrycznej, lub ogólniej, w przestrzeni topologicznej spełniającej pierwszy aksjomat przeliczalności, punkt $p$ jest punktem skupienia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów zbioru $A\setminus \{p\}$ ^[1]^[2].

Związane pojęcia

Jeśli punkt należy do zbioru, ale nie jest jego punktem skupienia, to nazywamy go punktem izolowanym (tego zbioru). A zatem punkt $p$ należący do zbioru $A$ jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie jego otoczenie, które nie zawiera punktów zbioru $A$ różnych od $p.$

Jeśli w dowolnym otoczeniu punktu $p$ znajduje się nieprzeliczalnie wiele elementów zbioru $A,$ to punkt $p$ nazywamy punktem kondensacji zbioru $A.$ Punkt kondensacji zbioru jest więc także jego punktem skupienia (ale nie odwrotnie).

Przy definiowaniu granic jednostronnych potrzebne jest pojęcie jednostronnego punktu skupienia. Jeśli $A\subseteq \mathbb {R}$ (lub ogólniej: dowolnej przestrzeni porządkowej), punkt $x_{0}\in A$ jest lewostronnym punktem skupienia zbioru $A,$ jeśli jest punktem skupienia zbioru $A\cap (x,x_{0})$ dla pewnego $x<x_{0}.$ Podobnie punkt $x_{0}\in A$ jest prawostronnym punktem skupienia zbioru $A,$ jeśli jest punktem skupienia zbioru $A\cap (x_{0},x)$ dla pewnego $x>x_{0}.$
Ciąg liczb wymiernych $x_{n}=(-1)^{n}{\frac {n}{n+1}}$ nie posiada granicy, ale ma dwa punkty skupienia: $+1$ oraz $-1$ , które są granicami dwóch podciągów: $x_{2n}=(-1)^{2n}{\frac {2n}{2n+1}}\to +1$ oraz $x_{2n+1}=(-1)^{2n+1}{\frac {2n+1}{(2n+1)+1}}\to -1$
Punktem skupienia ciągu $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ nazywamy każdą z granic podciągów zbieżnych ciągu $(x_{n})_{n=1}^{\infty }.$ Innymi słowy, $p$ jest punktem skupienia $(x_{n})_{n=1}^{\infty },$ gdy dowolne otoczenie otwarte $p$ zawiera pewien element ciągu $x_{n}.$ Ciąg zbieżny ma jednopunktowy zbiór punktów skupienia (złożony z granicy ciągu). Z drugiej strony, ciąg $x_{n}=0$ dla $n$ nieparzystych i $x_{n}=n$ dla $n$ parzystych, ma jednopunktowy zbiór punktów skupienia, ale nie jest zbieżny. Należy też być ostrożnym i rozróżniać punkt skupienia ciągu od punktu skupienia jego zbioru wyrazów. Np. ciąg $x_{1}=1,$ $x_{n}=2$ dla $n\geqslant 2,$ jest zbieżny do 2 (i to jedyny element jego zbioru punktów skupienia), natomiast zbiór wyrazów ciągu $x_{n}$ to $\{1,2\},$ czyli zbiór, którego wszystkie punkty są izolowane. (Omawiane przykłady dotyczą ciągów na prostej rzeczywistej $\mathbb {R}$ ).

Przykłady

Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych. Jest ona także punktem kondensacji tego zbioru.
Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb wymiernych.
Pochodną (zbiorem punktów skupienia) przedziałów $(0,1)$ oraz $(0,1]$ jest przedział $[0,1].$ Jest on także zbiorem punktów kondensacji tych przedziałów.
Zbiór $\{0,1,2\}$ nie ma punktów skupienia – wszystkie punkty tego zbioru są punktami izolowanymi.
Jedynym punktem skupienia zbioru $\{1,1/2,1/3,1/4,1/5,\dots \}$ jest $0,$ wszystkie punkty tego zbioru są izolowane. Zbiór jest przeliczalny, więc nie może mieć punktów kondensacji.
Jedynymi punktami skupienia zbioru $\{1/4,3/4,1/5,4/5,1/6,5/6,1/7,6/7,\dots \}$ są $0$ i $1,$ pozostałe punkty są izolowane.