Finstruktur

Oppsplitting av Ly_α - linjen i hydrogenatomet på grunn av relativistiske effekter.

Finstruktur i atomfysikken er en oppsplitting av en spektrallinje fra et atom i to eller flere komponenter. Den skyldes at energinivåene i atomene forskyves litt i forhold til hva som følger fra Bohrs atommodell. For de fleste atomer er den viktigste årsaken spinn-banekoblingen mellom elektronets spinn og dets orbitale dreieimpuls. Det mest kjente eksempel på en slik oppsplitting, er den gule D-linjen i spektrumet fra natrium. Finstrukturen kan føres tilbake til den spesielle relativitetsteorien for elektronets bevegelse i atomet.

Nøyaktige verdier for energinivåene i atomet kan finnes ved bruk av Schrödinger-ligningen hvor bidraget fra de forskjellige, relativistiske korreksjonene beregnes ved perturbasjonsteori. Spesielt for hydrogenatomet kan hele finstrukturen beregnes eksakt direkte fra Dirac-ligningen.

Atomers finstruktur spilte en viktig rolle i oppdagelsen av elektronets spinn og dets magnetiske egenskaper samt etableringen av Paulis eksklusjonsprinsipp for atom med flere elektroner. På lignende vis bidro den enda finere Lamb-forskyvningen av energinivåene i hydrogenatomet til utviklingen av moderne kvanteelektrodynamikk.

Historisk utvikling

Forståelsen av omtrent all atomfysikk kan føres tilbake til Bohrs atommodell for hydrogenatomet fra 1913. Hvert energinivå er da gitt ved et hovedkvantetall n = 1, 2, 3, ... som angir radius til den sirkulære banen elektronet er antatt å bevege seg i rundt atomkjernen. Noen få år senere viste Arnold Sommerfeld at elektronet også kunne bevege seg langs ellipser med en eksentrisitet avhengig av dreieimpulsen i banen. Denne er gitt ved et nytt kvantetall k = 1, 2, .., n  hvor hovedkvantetallet n  fremdeles angir energien til banene. Hvert energinivå vil derfor tilsvare n  forskjellige baner med ulike eksentrisiteter, men samme energi. De sies å være «degenererte».

Disse første beregningene var baserte på antagelse at elektronets bevegelse kan beskrives ved newtonsk mekanikk. Men forholdet mellom hastigheten til elektronet i H-atomet og lyshastigheten er gitt ved

$\alpha ={e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}$

som er finstrukturkonstanten med en verdi som er ganske nøyaktig 1/137. Denne enorme hastighet betyr at spesiell relativitetsteori må benyttes i beskrivelsen av elektronets bevegelse i atomet. Sommerfeld viste i 1916 at denne relativistiske effekten ville medføre at ellipsebanene ikke lenger ligger i ro i rommet, men preseserer i et plan vinkelrett på dreieimpulsen. Hver slik bane får dermed en energi som også avhenger av kvantetallet k. Til laveste orden er denne korreksjonen

$\Delta E_{n,k}=E_{n}{\alpha ^{2} \over n^{2}}\left({n \over k}-{3 \over 4}\right)$

der E_n  er energien ifølge Bohrs opprinnelige teori. For Balmer-serien av spektrallinjer for hydrogen som fremkommer ved overganger til nivået med n = 2, betyr det at hver linje er splittet i to da dette nivået inneholder både en ellipsebane med k = 1 og en sirkulær bane med k = 2. Tilsammen utgjør de to opprinnlig degenererte energinivåene en dublett. Denne finstrukturen ble eksperimentelt påvist allerede på slutten av 1800-tallet og størrelsen av den viste seg nå å stemme helt med Sommerfelds formel.

Spinn

Når et atom blir plassert i et ytre magnetfelt, vil dets spektrallinjer splittes opp enda mer i tillegg til den eksisterende finstrukturen. Noen aspekt av denne Zeeman-effekten kunne Alfred Landé forklare på begynnelsen av 1920-tallet ved å anta eksistensen av halvtallige kvantetall for elektronenes bevegelse. Dette var i konflikt med Bohr-Sommerfeld-kvantiseringen som lå til grunn for at kvantetallene n  og k  skulle være positive heltall.

En mulig forklaring på dette fenomenet ga Werner Heisenberg i sitt første, publiserte arbeid fra 1922 der han innførte sin Rumpf-modell. For et alkalimetall med ett aktivt elektron utenfor en rest eller rumpf av lukkete elektronskall, antok han at dette kunne avgi et halvtallig spinn av størrelse ħ/2 til denne atomresten. Elektronet fikk da redusert sitt orbitale kvantetall til k - 1/2 samtidig som resten måtte tilskrives et kvantetall r = 1/2. Den totale dreieimpulsen til atomet er da den vektorielle summen av disse to dreieimpulsene som gir verdiene j = k eller j = k -1 for et nytt, indre kvantetall som Sommerfeld tidligere hadde diskutert. Når disse to tilstandene har forskjellig energi, vil det bety en oppsplitting av energinivået (n, k) i en dublett. Med to aktive elektroner utenfor atomresten som for jordalkalimetallene, vil det indre kvantetallet på samme måte kunne ta verdiene j = k, k - 1 og k - 2. Dette gir en oppsplitting til en triplett av tilstander som var observert for atomene i denne gruppen.

Wolfgang Pauli viste snart at denne modellen til Heisenberg ikke var riktig. Det halvtalligge spinnet kunne ikke tilhøre restatomet, men måtte være en egenskap ved selve elektronet utenfor dette. Dermed fikk dette et nytt kvantetall s = 1/2 for spinn. Dette benyttet han til å forklare oppbyggingen av de forskjellige elektronskallene basert på hans nye eksklusjonsprinsipp.

Spinn-banekobling

I tillegg til oppdagelsen av elektronets spinn S viste Heisenberg og Schrödinger omtrent på samme tid at størrelsen av dets orbitale dreieimpuls L er gitt ved et nytt kvantetall ℓ = k - 1 med verdiene 0, 1, 2 og så videre. Den kan derfor ha verdien null som ikke var tillatt i den halv-klassiske kvantemekanikken til Bohr og Sommerfeld. Den totale dreieimpulsen til ett eller flere elektron er derfor J = L + S med en størrelse gitt ved kvantetallet j som tilsvarer Sommerfelds indre kvantetall. Det kan være både heltallig og halvtallig avhengig av om det totale elektronspinnet S er heltallig eller halvtallig.

De optisk aktive elektronene i de fleste atomene befinner seg langt fra atomkjernen og beveger seg derfor forholdsmessig langsommere enn de innerste atomene. Oppsplittingen av deres energinivå i forskjellige multipletter kunne derfor ikke forklares som en ren, relativistisk effekt slik som Sommerfeld hadde vist for hydrogenatomet. Derimot kunne man benytte en annen, magnetisk effekt som var tidligere introdusert av Landé og Heisenberg i deres Rumpf-modeller hvor elektronets spinn S var plassert på atomresten i sentrum. Selve elektronet beveger seg i en ytre bane og skaper dermed et magnetfelt som er proporsjonalt med dets dreieimpuls L. Da energien til en magnetisk dipol μ i et magnetfelt B er gitt som E = - μ⋅B, vil denne effekten i atomet gi opphav til en ekstra energi av formen

$H_{SL}=-f(r)\mathbf {S} \cdot \mathbf {L}$

Her inngår en funksjonen $f(r)$ som avhenger av avstand r  fra atomkjernen og er bestemt av kvantetallene n og ℓ.

Samme form for dette magnetiske bidraget til den totale energien kommer frem i moderne kvantemekanikk der elektronetts spinn er lokalisert på selve elektronet. Har det hastigheten v i atomets hvilesystem, vil resten av atomet se ut til å bevege seg med hastigheten -v i elektronets hvilesystem. Det elektriske feltet E som virker på elektronet, vil da gi opphav til et magnetisk felt proporsjonalt med v × E som igjen er proporsjonalt med L i dette referansesystemet. Ut fra sitt opphav kan denne spinn-banekoblingen kalles en «indre Zeeman-effekt» da magnetfeltet her skyldes elektronets egen bevegelse.

Landés intervallregel

Tilstanden til et elektron i atomet er beskrevet ved kvantetallene n og ℓ som igjen bestemmer det største bidraget til dets energi. I tillegg kommer bidraget fra spinn-banekoblingen som avhenger av hvordan dets spinn S er innrettet i forhold til dets dreieimpuls L. Det kan finnes fra kvadratet av den totale dreieimpulsen J² = L² + S² + 2S⋅L. Etter kvantisering har man da

$2\mathbf {S} \cdot \mathbf {L} =\hbar ^{2}[j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1)]$

Denne perturbasjonen vil dermed splitte opp energinivået (n, ℓ) i 2s +1 forskjellige komponenter karakterisert ved det indre eller totale kvantetallet j = ℓ + s, ℓ + s - 1, ..., ℓ - s. Spinn s = 1/2 gir opphav til dubletter, s = 1 gir tripletter, s = 3/2 splittes opp til en kvartett av nye tilstander og så videre.

Da hver komponent i en slik multiplett har de samme verdiene av kvantetallene n og ℓ, vil differansen mellom energien til en av dem og den neste i samme multiplett være proporsjonal med

$\Delta E=a[j(j+1)-(j-1)j]=2aj$

hvor a  er uavhengig av kvantetallet j. For eksempel, i en triplett av tilstander vil avstandene mellom de to energiforskjellene opptre i forholdet (ℓ +1)/ℓ som er 2:1 for p-tilstander med ℓ = 1, mens det er 3:2 for d-tilstander med ℓ = 2. Denne regelmessigheten ble først påvist av Alfred Landé og bærer derfor hans navn.

Eksterne lenker

• HyperPhysics, Hydrogen Fine Structure