Spektrijoonte peenstruktuur

Aatomifüüsikas kirjeldab peenstruktuur aatomi spektrijoonte lõhenemist elektroni spinni ja mitterelativistliku Schrödingeri võrrandi relativistlike paranduste tõttu.

Jämestruktuur

Joonspektri jämestruktuur on joonspekter, mida ennustab mitterelativistlike elektronide kvantmehaanika ilma spinne arvestamata. Vesinikuaatomi jämestruktuuri energiatasemed sõltuvad ainult peakvantarvust n. Täpsem mudel võtab arvesse relativistlikke ja spinnefekte, mis hävitavad energiatasemete kõdumise ja lõhestavad spektrijooned. Peenstruktuuri spektrijoonte lõhenemise määr võrreldes jämestruktuuri energiatega on suurusjärgus (Zα)², kus Z on aatomnumber ja α on peenstruktuuri konstant, dimensioonita suurus, mille ligikaudne väärtus on $1/137$.

Relativistlikud parandid

Peenstruktuuri energia parandid saab arvutada häiritusteooriast. See annab hamiltoniaanile 3 parandliiget: peamist järku relativistlik kineetilise energia parand, spinn-orbitaal seostuse parand ja Darwini liige. Need parandid võib samuti saada Diraci võrrandi mitterelativistlikest piirtingimustest, kuna Diraci teooria sisaldab relatiivsust ja spinni vastastikmõjusid.

Kineetilise energia relativistlik parand

Klassikaliselt on kineetilise energia liige hamiltoniaanis

$T={\frac {p^{2}}{2m}}$

kus $p$ on impulss ja $m$ on elektroni mass. Võttes arvesse looduse täpsemat teooriat erirelatiivsuse kaudu peame kasutama kineetilise energia relativistlikku kuju,

$T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}$

kus esimene liige on kogu relativistlik energia ning teine liige on elektroni seisuenergia ($c$ on valguse kiirus vaakumis). Seda Taylori ritta (eriti binoomritta) arendades saame

$T={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}+\cdots$

Esimest järku hamiltoniaani parand on

$H_{\mathrm {kinetic} }=-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}$

Kasutades seda kui häiritust, saame arvutada esimest järku relativistlikest efektidest tulenevad energia parandid.

$E_{n}^{(1)}=\left\langle \psi ^{0}\right\vert H'\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{4}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle$

kus $\psi ^{0}$ on häirimata lainefunktsioon. Võttes arvesse häirimata hamiltoniaani, näeme, et

${\begin{aligned}H^{0}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\\left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=2m(E_{n}-V)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \end{aligned}}$

Me saame kasutada seda tulemust, et edasi arvutada relativistlikku parandit:

${\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert (2m)^{2}(E_{n}-V)^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\left\langle V^{2}\right\rangle \right)\end{aligned}}$

Vesiniku aatomi jaoks $V(r)={\frac {-e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}$, $\left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle ={\frac {1}{a_{0}n^{2}}}$ ja $\left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle ={\frac {1}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}$ , kus $a_{0}$ on Bohri raadius, $n$ on peakvantarv ja $l$ on orbitaalkvantarv. Seega on esimest järku relativistlik parand vesiniku aatomi jaoks

${\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}+2E_{n}{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {1}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}{\frac {e^{4}}{(l+{\frac {1}{2}})n^{3}a_{0}^{2}}}\right)\\&=-{\frac {E_{n}^{2}}{2mc^{2}}}\left({\frac {4n}{l+{\frac {1}{2}}}}-3\right)\end{aligned}}$

Kus me kasutasime valemit

$E_{n}=-{\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a_{0}n^{2}}}$

Lõplike arvutuste juures on põhiseisundi relativistliku parandi suurusjärk

Spinn-orbitaal seostus

Vesiniku-sarnase aatomi jaoks, millel on $Z$ prootonit, orbitaalmoment on ${\vec {L}}$ ja elektroni spinn on ${\vec {S}}$, on spinn-orbitaal liige

$H_{so}={\frac {1}{2}}\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\left({\frac {g_{s}}{2m_{e}^{2}c^{2}}}\right){\frac {{\vec {L}}\cdot {\vec {S}}}{r^{3}}}$

$m_{e}$ on elektroni mass, $\varepsilon _{0}$ on vaakumi dielektriline läbitavus ja $g_{s}$ on spinni g-faktor. $r$ on elektroni kaugus tuumast. Spinn-orbitaal parandit aitab mõista liikumine tavapärasest taustsüsteemist (kus elektron tiirleb ümber tuuma) teise, kus elektron on paigal ja tuum tiirleb ümber selle. Sellisel juhul tuum toimib kui ringvool, mis tekitab magnetvälja. Elektronil on oma siseimpulssmomendi tõttu magnetmoment. Kaks magnetvektorit, ${\vec {B}}$ ja ${\vec {\mu }}_{s}$, paarduvad nii, et nende orientatsioonist sõltub ka energiakulukus. See annab energia parandi kujul

$\Delta E_{SO}=\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}$

Pane tähele tegur 2-te, mida kutsutakse Thomase pretsessiooniks ning mis tuleb relativistlikust arvutusest elektroni taustsüsteemist tuuma taustsüsteemi tagasi liikumiseks. Et

${\begin{aligned}\left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle &={\frac {Z^{3}}{n^{3}a_{0}^{3}}}{\frac {1}{l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}\\\left\langle {\vec {L}}\cdot {\vec {S}}\right\rangle &={\frac {\hbar ^{2}}{2}}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\end{aligned}}$

on eeldatav hamiltoniaani väärtus

$\left\langle H_{SO}\right\rangle ={\frac {E_{n}{}^{2}}{m_{e}c^{2}}}~n~{\frac {j(j+1)-l(l+1)-{\frac {3}{4}}}{l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}$

Seega on spinn-orbitaal sidestuse suurusjärk ${\frac {Z^{4}}{n^{3}(j+1/2)}}10^{-5}{\text{ eV}}$.

Darwini liige

Diraci võrrandi mitterelativistlikus laienduses on veel üks liige. Seda kutsutakse Darwini liikmeks, kuna selle tuletas esimesena Charles Dalton Darwin, ning see avaldub kujul:

${\begin{aligned}H_{\mathrm {Darwinian} }&={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}\left({\vec {r}}\right)\\\langle H_{\mathrm {Darwinian} }\rangle &={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)|\psi (0)|^{2}\\\psi (0)&=0{\text{ for }}l>0\\\psi (0)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\,2\left({\frac {Z}{na_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\text{ for }}l=0\\H_{\mathrm {Darwinian} }&={\frac {2n}{m_{e}c^{2}}}\,E_{n}^{2}\end{aligned}}$

Darwini liige mõjutab ainult s-orbitaali, sest elektroni, mille $l>0$, lainefunktsioon haihtub algpunktis, mille tõttu delta-funktsioon ei avalda mõju. Näiteks annab see s2 orbitaalile sama energia nagu 2p orbitaalil tõstes 2s oleku energiat 9,057×10⁻⁵ eV võrra. Darwini liige muudab tuuma asukohas efektiivset potentsiaali. Seda võib tõlgendada kui elektroni ja tuuma vahelise elektrostaatilise mõju laialimäärimist, mida põhjustavad elektroni kiired kvantvõnkumised. Seda saab näidata lühikese arvutusega. Kvantfluktuatsioonid võimaldavad tekkida virtuaalsetel elektron-positron paaridel, mille eluea hinnang tuleneb määramatuse printsiibist $\Delta t\approx \hbar /\Delta E\approx \hbar /mc^{2}$. Osakesed saavad selle aja jooksul läbida vahemaa $\xi \approx c\Delta t\approx \hbar /mc=\lambda _{c}$, mis on Comptoni lainepikkus. Aatomi elektronid asuvad nende paaridega vastastikmõjusse. See annab fluktueeriva elektroni asukoha ${\vec {r}}+{\vec {\xi }}$. Taylori rittaarendust kasutades saab hinnata potentsiaali $U$ efekti:

$U({\vec {r}}+{\vec {\xi }})\approx U({\vec {r}})+\xi \cdot \nabla U({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}\xi _{i}\xi _{j}\partial _{i}\partial _{j}U({\vec {r}})$

Keskmistamine üle fluktuatsioonide ${\vec {\xi }}$

${\overline {\xi }}=0,\quad {\overline {\xi _{i}\xi _{j}}}={\frac {1}{3}}{\overline {{\vec {\xi }}^{2}}}\delta _{ij},$

annab keskmise potentsiaali

${\overline {U\left({\vec {r}}+{\vec {\xi }}\right)}}=U\left({\vec {r}}\right)+{\frac {1}{6}}{\overline {{\vec {\xi }}^{2}}}\nabla ^{2}U\left({\vec {r}}\right).$

Lähenduses ${\overline {{\vec {\xi }}^{2}}}\approx \lambda _{c}^{2}$ annab see potentsiaali häirituse fluktuatsioonide tõttu:

$\delta U\approx {\frac {1}{6}}\lambda _{c}^{2}\nabla ^{2}U={\frac {\hbar ^{2}}{6m^{2}c^{2}}}\nabla ^{2}U$

Et võrrelda eespoololeva avaldisega, asendame sisse Coulombi potentsiaali:

$\nabla ^{2}U=-\nabla ^{2}{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}=4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ({\vec {r}})\quad \Rightarrow \quad \delta U\approx {\frac {\hbar ^{2}}{6m^{2}c^{2}}}4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ({\vec {r}})$

See on ainult veidi erinev. Veel üks mehhanism, mis mõjutab ainult s-olekut, on Lambi nihe, väiksem parand, mis tuleb ette kvantelektrodünaamikas ning mida ei tohi sega ajada Darwini liikmega. Darwini liige annab s-olekule ja p-olekule sama energia, kuid Lambi nihe tõstab s-oleku kõrgemale energiatasemele kui p-oleku.

Koguefekt

Kogu hamiltoniaan avaldub kujul

$H=H_{0}+H_{\mathrm {kinetic} }+H_{\mathrm {so} }+H_{\mathrm {Darwinian} },\!$

kus $H_{0}$ on Coulombi vastastikmõju hamiltoniaan. Koguefekt, mis saadakse kolme komponendi summeerimisel, avaldub kujul:

$\Delta E={\frac {E_{n}(Z\alpha )^{2}}{n}}\left({\frac {1}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4n}}\right)\,,$

kus $j$ on kogu impulssmoment ($j=1/2$ kui $l=0$ ning muudel juhtudel $j=l\pm 1/2$ ). Väärib tähelepanu, et selle avaldise tuletas vana Bohri teooria põhjal esimest korda A. Sommerfeld enne, kui formuleeriti uus kvantmehaanika. Koguefekti võib samuti saada kasutades Diraci võrrandit. Sellisel juhul eeldatakse, et elektron on mitterelativistlik. Täpsed energiad annab avaldis

$E_{j\,n}=-m_{\text{e}}c^{2}\left[1-\left(1+\left[{\dfrac {\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\right].$

See avaldis, mis sisaldab kõiki kõrgema järgu liikmeid, mis jäid välja teistes arvutustes, laiendab esimest järku, et anda energia parandid, mis on tuletatud häiritusteooriast. See avaldis ei sisalda siiski ülipeenstruktuuri parandeid, mille põhjustavad vastastikmõjud tuumaosakeste spinnidega. Teisi kvantväljateooria parandeid nagu Lambi nihe ja elektroni anomaalne magnetdipoolmoment ei ole arvesse võetud.

Välislingid

• Hyperphysics: Fine Structure
• University of Texas: The fine structure of hydrogen

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.