Jalur Möbius

Satu jalur Möbius yang dibuat dengan selembar kertas dan pita pelekat. Seandainya ada seekor semut yang merangkak sepanjang jalur ini, ia akan kembali ke titik permulaan yang dilaluinya selepas merentasi keseluruhan jalur (di kedua sisi kertas asal) tanpa menyentuh sebarang sisi jalur.

Jalur Möbius (juga dieja sebagai Mobius atau Moebius, bahasa Jerman: [ˈmøːbi̯ʊs]) ialah permukaan dengan hanya satu sisi (apabila tertanam dalam ruang tiga dimensi Euclides) dan satu sempadan sahaja. Jalur ini mempunyai ciri matematik yang tidak boleh diorientasikan, dan ia boleh dinyatakab sebagai permukaan dibaris. Ia ditemui secara berasingannya oleh dua orang ahli matematik Jerman iaitu August Ferdinand Möbius dan Johann Benedict Listing pada tahun 1858.

Satu contoh jalur Möbius ini boleh ditunjukkan dengan memintal separa sehelai jalur kertas lalu menghubungkan kedua-dua hujung jalur untuk membentuk suatu lingkaran. Bagaimanapun, jalur ini tidak berpermukaan satu ukuran dan bentuk yang pasti sepertimana yang digambarkan lembaran kertas itu. Para ahli matematik lebih merujuk kepada jalur Möbius yang tertutup seumpama mana-mana permukaan yang berupa sama, atau "homeomorfik", seperti jalur ini. Sempadannya terdiri daripada lengkung yang mudah ditutup dan homeomorfik kepada satu bulatan. Hal ini membolehkan jalur sebegini dibentuk kepada pelbagai jenis bentuk geometri kerana permukaan mempunyai saiz dan bentuk yang pasti. Sesebuah segi empat misalnya boleh dilekatkan kepada dirinya sendiri (selepas memasangkan satu tepi dengan tepi yang berlawanan berikutan pembalikan orientasi) untuk membuat jalur Möbius. Sebahagian daripada jalur-jalur ini boleh dimodelkan dengan lancarnya dalam ruang Euclides namun ada juga jalur lain yang tidak mampu dilakukan sedemikian.

Ciri Euler (Euler characteristic) jalur Möbius ini bernilai sifar.

Geometri

Satu cara untuk mewakilkan jalur Möbius sebagai suatu subset ruang Euclides tiga dimensi ialah dengan menggunakan pemparameteran (parametrization) berikut:

$y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u$

di mana 0 ≤ u < 2π dan −1 ≤ v ≤ 1. Pengiraan ini menghasilkan selembar jalur Möbius dengan lebar 1 dan radius bulat pusatnya bernilai 1, terletak di satah xy atas koordinat (0, 0, 0). Parameter u mengelilingi jalur manakala v bergerak dari satu sisi ke satu sisi yang lain.

Pautan luar

• The Möbius Gear – model gear planet di mana setiap satu gear ialah jalur Möbius
• Eric W. Weisstein, Möbius Strip di MathWorld.